Kopertina e librit Matematika 10-11 (fletore pune)

Zgjidhja e ushtrimit 4

Zgjidhja e ushtrimit 4 të mësimit 14.3 - Vetitë e funksioneve të fuqisë së dytë në librin Matematika 10-11 (fletore pune) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Clare Pass.

Pyetja

Për secilën nga funksionet kuadratike të dhëna, gjeni:

  1. koordinatat e pikëprerjes me boshtin e ordinatave;
  2. koordinatat e pikëprerjeve me boshtin e abshisave;
  3. koordinatat e pikës së minimumit (ose maksimumit).

a) y=x2+4x−5y=x^2+4x-5

b) y=x2−6x+9y=x^2-6x+9

c) y=2x2−x−3y=2x^2 - x - 3

d) y=3−2x−x2y=3-2x-x^2

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

  1. i) Pikëprerja me boshtin e ordinatave do të thotë që x=0⇒y=02+4(0)−5⇒y=−5⇒(0,−5)x=0 \rArr y=0^2+4(0)-5 \rArr \boxed{y=-5} \rArr (0,-5).; ii) Pikëprerjet me boshtin e abshisave janë rrënjët e ekuacionit ⇒x2+4x−5=0⇒x2+5x−x−5=0⇒x(x+5)−(x+5)=0⇒(x−1)(x+5)=0⇒x=1\rArr x^2+4x-5=0 \rArr x^2+5x-x-5=0 \rArr x(x+5)-(x+5)=0 \rArr (x-1)(x+5)=0 \rArr \boxed{x=1} dhe x=−5⇒(1,0)\boxed{x=-5} \rArr (1, 0) dhe (−5,0)(-5, 0) janë pikëprerjet me boshtin e abshisave.; iii) Në ekuacionin me trajtën a(x+b)2+ca(x+b)^2+c, kulmi i parabolës do të jetë pika (−b,c)(-b, c) ⇒\rArr (x+2)2−22−5⇒(x+2)2−4−5⇒(x+2)2−9⇒(−2,−9)(x+2)^2 - 2^2-5 \rArr (x+2)^2 - 4 - 5 \rArr (x+2)^2-9 \rArr (-2,-9) është minimumi.
  2. i) x=0⇒y=02−6(0)+9⇒y=9⇒(0,9)x=0 \rArr y=0^2-6(0)+9 \rArr \boxed{y=9} \rArr (0, 9); ii) y=0⇒x2−6x+9=0⇒(x−3)2=0⇒x−3=0⇒x=3⇒(3,0)y=0 \rArr x^2-6x+9=0 \rArr (x-3)^2=0 \rArr x-3=0 \rArr \boxed{x=3} \rArr (3,0); iii) (x−3)2−32+9⇒(x−3)2−9+9⇒(x−3)2+0⇒(3,0)(x-3)^2 - 3^2 + 9 \rArr (x-3)^2-9+9 \rArr (x-3)^2 + 0 \rArr (3, 0) është minimumi
  3. i) x=0⇒y=2×02−0−3⇒y=−3⇒(0,−3)x=0 \rArr y=2 \times 0^2 - 0 - 3 \rArr \boxed{y=-3} \rArr (0,-3); ii) y=0⇒2x2−x−3=0⇒2x2+2x−3x−3=0⇒2x(x+1)−3(x+1)=0⇒(2x−3)(x+1)=0⇒x=32y=0 \rArr 2x^2-x-3=0 \rArr 2x^2+2x-3x-3=0 \rArr 2x(x+1)-3(x+1)=0 \rArr (2x-3)(x+1)=0 \rArr \boxed{x=\dfrac{3}{2}} dhe x=−1⇒(32,0)\boxed{x=-1} \rArr \Big(\dfrac{3}{2},0\Big) dhe (−1,0)(-1, 0); iii) 2(x2−12x−32)=2[(x−14)2−(14)2−32]=2[(x−14)2−116−3×82×8]=2(x−14)2−2×1+2416=2(x−14)2−258⇒(14,−258)2\Big(x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}\Big)=2\Big[\Big(x-\dfrac{1}{4}\Big)^2 - \Big(\dfrac{1}{4}\Big)^2 - \dfrac{3}{2} \Big] = 2\Big[\Big(x-\dfrac{1}{4}\Big)^2 -\dfrac{1}{16}-\dfrac{3\times 8}{2\times 8}\Big]=2\Big(x-\dfrac{1}{4}\Big)^2 -\cancel2 \times \dfrac{1+24}{\cancel{16}} = 2\Big(x-\dfrac{1}{4}\Big)^2 - \dfrac{25}{8} \rArr \Big(\dfrac{1}{4},-\dfrac{25}{8}\Big) është minimumi
  4. i) x=0⇒y=3−2(0)−02⇒y=3x=0 \rArr y=3-2(0)-0^2 \rArr \boxed{y=3} ⇒(0,3)\rArr (0, 3); ii) y=0⇒3−2x−x2=0⇒x2+2x−3=0⇒x2+3x−x−3=0⇒x(x+3)−(x+3)=0⇒(x−1)(x+3)=0⇒x=1y=0 \rArr 3-2x-x^2 = 0 \rArr x^2+2x-3=0 \rArr x^2+3x-x-3=0 \rArr x(x+3)-(x+3)=0 \rArr (x-1)(x+3)=0 \rArr \boxed{x=1} dhe x=−3\boxed{x=-3} ⇒(1,0)\rArr (1, 0) dhe (−3,0)(-3, 0); iii) −(x2+2x−3)=[(x+1)2−1−3]=−(x+1)2+4⇒(−1,4)-(x^2+2x-3)=[(x+1)^2 - 1 - 3]=-(x+1)^2 + 4 \rArr (-1, 4) është maksimumi