Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa I

Zgjidhja e ushtrimit 4

Zgjidhja e ushtrimit 4 të mësimit 10.2Z në librin Matematika 10 - 11: Pjesa I nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

Jepini përgjigjet me dy shifra pas presjes dhjetore (kur është e mundur).

  1. Ndryshesa e dy numrave është 4 dhe prodhimi i tyre 117. Gjeni numrat.
  2. Gjatësia e një drejtkëndëshi është 4 cm më e madhe se gjerësia e tij. Syprina e tij është 357 cm2. Gjeni përmasat e drejtkëndëshit.
  3. Katrori i ndryshesës së një numri me 3, është 10. Gjeni numrin.
  4. Trefishi i të anasjellit të një numri është 1 më pak se dhjetëfishi i tij. Cili është ky numër?
  5. Diagonalja e një drejtkëndëshi është 17 mm. Gjatësia është 7 mm më e madhe se gjerësia e tij. Gjeni përmasat e drejtkëndëshit.
  6. Katrori dhe drejtkëndëshi, që janë dhënë në figurë, kanë syprina të barabarta. Gjeni gjatësinë e brinjës së katrorit.

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

  1. Shënojmë dy numrat e panjohur me aa dhe bb, dhe do kishim a−b=4a-b=4 dhe a×b=117a \times b = 117. Veçojmë njërin prej numrave te shprehja e shumës, përshembull a=b+4a=b+4, dhe këtë vlerë të numrit aa e zëvëndësojmë te shprehja e prodhimit, pra do kishim b(b+4)=117b(b+4)=117. Kryejmë veprimet për të gjetur numrin e panjohur bb, b2+4b=117⇒b2+4b−117=0b^2+4b=117 \rArr b^2+4b-117=0. Me dallor kemi a=1a=1, b=4b=4 dhe c=−117c=-117, ndaj vlera e dallorit do ishte = b2−4ac=42−4×1×(−117)=16+468=484b^2-4ac=4^2-4 \times 1 \times (-117) = 16+468=484. Dy vlerat e mundshme të ndryshores bb do ishin −b±D2a=−4±4842×1=−4±222⇒b=9\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{484}}{2 \times 1} = \dfrac{-4 \pm 22}{2} \rArr b=9 dhe b=−13b=-13. Nëse b=−13b=-13, atëherë a−b=4⇒a−(−13)=4⇒a+13=4⇒a=4−13=−9a-b=4 \rArr a - (-13)=4 \rArr a+13=4 \rArr a=4-13=-9, ndërsa nëse b=9b=9, atëherë a−b=4⇒a−9=4⇒a=4+9⇒a=13a-b=4 \rArr a-9=4 \rArr a=4+9 \rArr a=13. Zgjidhje do ishin çiftet e numrave a=13a=13, b=9b=9 dhe a=−9a=-9, b=−13b=-13. Këto zgjidhje plotësojnë edhe kushtin a×b=177⇒13×9=177a \times b = 177 \rArr 13 \times 9 = 177 dhe (−9)×(−13)=117(-9) \times (-13)=117.
  2. Nëse gjerësinë e shënojmë me xx, atëherë gjatësia do ishte x+4x+4. Syprina gjehet duke i shumëzuar dy përmasat e drejtkëndëshit, kështu që do kishim x(x+4)=357x(x+4)=357 cm2. Kryejmë veprimet për të gjetur ndryshoren e panjohur, x2+4x=357⇒x2+4x−357=0x^2+4x=357 \rArr x^2+4x-357=0. Me dallor kemi a=1a=1, b=4b=4 dhe c=357c=357. Dallori do ishte = b2−4ac=42−4×1×(−357)=16+1428=1444b^2-4ac=4^2- 4 \times 1 \times (-357) = 16+1428 = 1444. Dy zgjidhjet për xx do ishin = −b±D2a=−4±14442×1=−4±382⇒x=17\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{1444}}{2 \times 1} = \dfrac{-4 \pm 38}{2} \rArr x=17 dhe x=−21x=-21. Gjatësi negative nuk mund të kemi, ndaj zgjidhje për ushtrimin tonë do ishte vetëm x=17x=17. Kjo bën që gjerësia të jetë x=17x=17 cm, ndërsa gjatësia x+4=17+4=21x+4=17+4=21 cm.
  3. Numrin e panjohur e shënojmë me xx. Ndryshesa e tij me 3 do shënohej x−3x-3. Dhe katrori i kësaj ndryshese do ishte (x−3)2(x-3)^2. KJo është e barabartë me 10, ndaj kryejmë veprimet për të gjetur xx, (x−3)2=10⇒x2−6x+9=10⇒x2−6x+9−10=0⇒x2−6x−1=0(x-3)^2=10 \rArr x^2 - 6x + 9 = 10 \rArr x^2-6x+9-10=0 \rArr x^2-6x-1=0. Kemi a=1a=1, b=−6b=-6 dhe c=−1c=-1. Dallori do ishte = b2−4ac=(−6)2−4×1×(−1)=36+4=40b^2-4ac=(-6)^2 - 4 \times 1\times (-1) = 36+4=40. Dy zgjidhjet e ekuacionit do ishin = −b±D2a=6±402×1⇒x≈6.16\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{6 \pm \sqrt{40}}{2 \times 1} \rArr x \approx 6.16 dhe x≈−0.16x\approx -0.16. Numri ynë i panjohur ka njërën prej këtyre vlerave.
  4. Numrin e shënojmë me xx. I anasjelli i tij do ishte 1x\dfrac{1}{x}. Trefishi i këtij, 3×1x3 \times \dfrac{1}{x}, është një më pak se 10-fishi i tij, 10x−110x-1. Formojmë dhe zgjidhim ekuacionin, 3x=10x−1⇒x×3x=x×10x−1×x⇒3=10x2−x⇒10x2−x−3=0\dfrac{3}{x}=10x-1 \rArr \cancel{x} \times \dfrac{3}{\cancel{x}} = x \times 10x - 1 \times x \rArr 3=10x^2-x \rArr 10x^2-x-3=0. Kemi a=10a=10, b=−1b=-1 dhe c=−3c=-3. Dallori do ishte = b2−4ac=(−1)2−4×10×(−3)=1+120=121b^2-4ac=(-1)^2 - 4 \times 10 \times (-3) = 1+120=121. Dy zgjidhjet e ekuacionit kuadratik do ishin = −b±D2a=1±1212×10=1±1120⇒x=0.6\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1 \pm \sqrt{121}}{2 \times 10} = \dfrac{1 \pm 11}{20} \rArr x=0.6 dhe x=−0.5x=-0.5.
  5. Nëse gjerësinë e shënojmë me xx, atëherë gjatësia do ishte x+7x+7. Diagonalja e ndan drejtkëndëshin në dy trekëndësha kënddrejtë, ku secili ka si përmasa dy katete nga xx dhe x+7x+7 dhe hipotenuzën 1717 mm. Shtrojmë teoremën e Pitagorës për të gjetur ndryshoren xx, x2+(x+7)2=172⇒x2+x2+14x+49=289⇒2x2+14x+49−289=0⇒2x2+14x−240=0x^2 + (x+7)^2=17^2 \rArr x^2+x^2+14x+49=289 \rArr 2x^2+14x+49-289=0 \rArr 2x^2+14x-240=0. Në ekuacionin kuadratik kemi a=2a=2, b=14b=14 dhe c=−240c=-240. Dallori do ishte = b2−4ac=142−4×2×(−240)=196+1920=2116b^2 -4ac = 14^2 - 4\times 2 \times (-240) = 196+1920=2116. Dy zgjidhjet e ekuacionit do ishin = −b±D2a=−14±21162×2=−14±464⇒x=8\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-14 \pm \sqrt{2116}}{2 \times 2} = \dfrac{-14 \pm 46}{4} \rArr x=8 dhe x=−15x=-15. Nuk mund të kemi gjatësi negative, kështu që si zgjidhje do marrim x=8x=8. Gjerësia e drejtkëndëshit do ishte x=8x=8 cm, ndërsa gjatësia do ishte x+7=8+7=15x+7=8+7=15 cm.
  6. Syprina e katrorit do e kishte vlerën (3x−2)2(3x-2)^2, ndërsa ajo e drejtkëndëshit x(7x−3)x(7x-3). I barazojmë dy syprinat dhe kryejmë veprimet për të gjetur vlerën e xx, (3x−2)2=x(7x−3)⇒9x2−12x+4=7x2−3x⇒9x2−7x2−12x+3x+4=0⇒2x2−9x+4=0(3x-2)^2 = x(7x-3) \rArr 9x^2-12x+4=7x^2-3x \rArr 9x^2-7x^2-12x+3x+4=0 \rArr 2x^2-9x+4=0. Kemi a=2a=2, b=−9b=-9 dhe c=4c=4. Dallori do ishte = b2−4ac=(−9)2−4×2×4=81−32=49b^2 -4ac = (-9)^2 - 4 \times 2 \times 4 = 81-32=49. Zgjidhjet e ekuacionit kuadratik do ishin = −b±D2a=9±492×2=9±74⇒x=4\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{9 \pm \sqrt{49}}{2 \times 2} = \dfrac{9 \pm 7}{4} \rArr x=4 dhe x=0.5x=0.5. Nëse vendosim x=0.5x=0.5 në gjatësinë e katrorit do kishim 3x−2=3×0.5−2=1.5−2=−0.53x-2 = 3 \times 0.5 - 2 = 1.5 -2 = -0.5 cm, por nuk mund të kemi gjatësi negative, kështu që zgjidhja na mbetet x=4x=4, të cilën po ta zëvëndësojmë te gjatësia e katrorit na e nxjerr këtë të fundit = 3×4−2=12−2=103 \times 4 - 2 = 12-2=10 cm.