Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa I

Zgjidhja e ushtrimit 5

Zgjidhja e ushtrimit 5 të mësimit 10.2Z në librin Matematika 10 - 11: Pjesa I nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

  1. Lartësia e një cilindri është 5 cm dhe syprina e tij është 100 cm2. Tregoni që πr2+5πr−50=0\pi r^2 + 5\pi r -50 =0, ku rr është rrezja e bazës së cilindrit.
  2. Me anë të ekuacionit të zgjidhur në kërkesën a, gjeni diametrin e bazës së cilindrit.

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

  1. Syprina e secilës bazë (rreth) do ishte πr2\pi r^2, ndërsa syprina anësore e cilindrit do ishte 2πrh2\pi r h, ku h=5h=5 cm, pra 2πr×5=10πr2\pi r \times 5 = 10\pi r. Syprina e plotë e cilindrit (duke përfshirë dy bazat) do ishte = 2πr2+10πr=1002\pi r^2 + 10\pi r = 100 cm2. Po kaloj 100 në krahun e majtë dhe po thjeshtoj duke faktorizuar: 2πr2+10πr−100=0⇒2(πr2+5πr−50)=0⇒πr2+5πr−50=02\pi r^2 +10 \pi r - 100 = 0 \rArr 2(\pi r^2 + 5 \pi r - 50) = 0 \rArr \pi r^2 + 5 \pi r - 50=0.
  2. Që të gjejmë diametrin na duhet të gjejmë rrezen (diametri është dyfishi i rrezes), ndaj zgjidhim ekuacionin kuadratik për të gjetur vlerën e rr. Me dallor kemi a=πa=\pi, b=5πb=5\pi dhe c=−50c=-50. Dallori do dilte = b2−4ac=(5π)2−4×π×(−50)=25π2+200π≈875b^2-4ac=(5\pi)^2 - 4 \times \pi \times (-50) = 25\pi^2+200\pi \approx 875. Meqë dallori doli pozitiv, atëherë dy vlerat e rr do ishin = −b±D2a=−5π±8752π⇒r≈2.21\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-5\pi \pm \sqrt{875}}{2\pi} \rArr r\approx 2.21 dhe r≈−7.21r\approx -7.21. Rrezja është gjatësi dhe gjatësitë nuk mund të jenë negative, kështu që themi se rrezja e bazës së cilindrit e ka gjatësinë 2.21 cm, nga e cila themi se diametri = 2r=2×2.21=4.422r = 2 \times 2.21 = 4.42 cm.