Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa I

Zgjidhja e ushtrimit 7

Zgjidhja e ushtrimit 7 të mësimit 10.2Z në librin Matematika 10 - 11: Pjesa I nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

Zgjidhni ekuacionet e mëposhtme.

  1. 10x+7=3x10x+7=\dfrac{3}{x}
  2. 10x=1+3x10x=1+\dfrac{3}{x}
  3. x2+34+(2x−1)5=1\dfrac{x^2+3}{4}+\dfrac{(2x-1)}{5}=1
  4. 3(x+1)+4(2x−1)=2\dfrac{3}{(x+1)}+\dfrac{4}{(2x-1)}=2
  5. x4−13x2+36=0x^4-13x^2+36=0

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

  1. x×10x+x×7=x×3x⇒10x2+7x=3→10x2+7x−3=0x \times 10x + x \times 7 = \cancel{x} \times \dfrac{3}{\cancel{x}} \rArr 10x^2+7x=3 \rarr 10x^2+7x-3=0, kemi a=10a=10, b=7b=7 dhe c=−3c=-3. Dallori del = b2−4ac=72−4×10×(−3)=49+120=169b^2-4ac=7^2 - 4 \times 10 \times (-3) = 49+120=169. Meqë D>0D>0, atëherë dy rrënjët e ekuacionit janë = −b±D2a=−7±1692×10=−7±1320⇒x=−7+1320=620=0.3\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{169}}{2 \times 10} = \dfrac{-7 \pm 13}{20} \rArr x=\dfrac{-7+13}{20}=\dfrac{6}{20}=0.3 dhe x=−7−1320=−2020=−1x=\dfrac{-7-13}{20}=\dfrac{-20}{20}=-1.
  2. x×10x=x×1+x×3x⇒10x2=x+3⇒10x2−x−3=0x \times 10x = x \times 1 + \cancel{x} \times \dfrac{3}{\cancel{x}} \rArr 10x^2=x+3 \rArr 10x^2-x-3=0, kemi a=10a=10, b=−1b=-1 dhe c=−3c=-3. Dallori del = b2−4ac=(−1)2−4×10×(−3)=1+120=121b^2-4ac=(-1)^2- 4 \times 10 \times (-3)= 1+120=121. Meqë D>0D>0, atëherë dy rrënjët e ekuacionit janë = −b±D2a=1±1212×10=1±1120⇒x=1+1120=1220=0.6\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{1 \pm \sqrt{121}}{2 \times 10} = \dfrac{1 \pm 11}{20} \rArr x=\dfrac{1+11}{20}=\dfrac{12}{20}=0.6 dhe x=1−1120=−1020=−0.5x=\dfrac{1-11}{20}=\dfrac{-10}{20}=-0.5.
  3. 20×x2+34+20×(2x−1)5=20×1⇒5(x2+3)+4(2x−1)=20⇒5x2+15+8x−4−20=0⇒5x2+8x−9=0\cancel{20} \times \dfrac{x^2+3}{\cancel{4}} + \cancel{20} \times \dfrac{(2x-1)}{\cancel{5}} = 20 \times 1 \rArr 5(x^2+3)+4(2x-1)=20 \rArr 5x^2+15+8x-4-20=0 \rArr 5x^2+8x-9=0, kemi a=5a=5, b=8b=8 dhe c=−9c=-9. Dallori del = b2−4ac=82−4×5×(−9)=64+180=244b^2-4ac=8^2-4 \times 5 \times (-9)=64+180=244. Meqë D>0D>0, atëherë dy rrënjët e ekuacionit janë = −b±D2a=−8±2442×5=−8±24410⇒x≈0.76\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-8 \pm \sqrt{244}}{2 \times 5} = \dfrac{-8\pm \sqrt{244}}{10} \rArr x\approx 0.76 dhe x≈−2.36x\approx -2.36.
  4. 3(2x−1)+4(x+1)(x+1)(2x−1)=2⇒6x−3+4x+42x2−x+2x−1=2⇒10x+12x2+x−1=2⇒10x+1=2(2x2+x−1)⇒10x+1=4x2+2x−2⇒4x2+2x−2−10x−1=0⇒4x2−8x−3=0\dfrac{3(2x-1)+4(x+1)}{(x+1)(2x-1)}=2 \rArr \dfrac{6x-3+4x+4}{2x^2-x+2x-1}=2 \rArr \dfrac{10x+1}{2x^2+x-1}=2 \rArr 10x+1=2(2x^2+x-1) \rArr 10x+1=4x^2+2x-2 \rArr 4x^2+2x-2-10x-1=0 \rArr 4x^2-8x-3=0, kemi a=4a=4, b=−8b=-8 dhe c=−3c=-3. Dallori del = b2−4ac=(−8)2−4×4×(−3)=64+48=112b^2-4ac=(-8)^2 - 4 \times 4 \times (-3)=64+48=112. Meqë D>0D>0, atëherë dy rrënjët e ekuacionit janë = −b±D2a=8±1122×4=8±1128⇒x≈2.32\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{8 \pm \sqrt{112}}{2 \times 4}= \dfrac{8 \pm \sqrt{112}}{8} \rArr x\approx 2.32 dhe x≈−0.32x\approx -0.32.
  5. Këtë tip ekuacioni duhet ta kthejmë në ekuacion të fuqisë së dytë, ndaj mund të themi se x2=yx^2=y, dhe ekuacionin tonë e kthejmë në y2−13y+36=0y^2-13y+36=0. Gjejmë rrënjët e yy me dallor, ku kemi a=1a=1, b=−13b=-13 dhe c=36c=36. Dallori del = b2−4ac=(−13)2−4×1×36=169−144=25b^2-4ac=(-13)^2-4 \times 1 \times 36 = 169-144=25. Meqë D>0D>0, atëherë dy rrënjët e yy do ishin = −b±D2a=13±252×1=13±52⇒y=9\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{13 \pm \sqrt{25}}{2 \times 1} = \dfrac{13\pm 5}{2} \rArr y=9 dhe y=4y=4. Nga këto dy rezultate që nxorrëm, zëvëndësojmë sërish y=x2y=x^2 dhe gjejmë vlerat e xx ⇒\rArr y=9⇒x2=9⇒x=9⇒x=±3y=9 \rArr x^2=9 \rArr x=\sqrt{9} \rArr x=\pm3 dhe y=4⇒x2=4⇒x=4⇒x=±2y=4 \rArr x^2 = 4 \rArr x=\sqrt{4} \rArr x= \pm 2.