Zgjidhja e ushtrimit 8

Qëllimi ynë është të veçojmë $x$, ndaj do kishim $\dfrac{\cancel{a}x^2}{\cancel{a}} + \dfrac{bx}{a} + \dfrac{c}{a}=0 \rArr x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}$.

Në këtë pikë mund të formojmë katrorin e plotë, pra $x^2+\dfrac{b}{a}x$ duhet ta kthejmë në formën $(x+p)^2$. Katrori i binomit do zbërthehej në $(x+p)^2=x^2+2px+p^2$. Ne $x^2$ e kemi, ndërsa në vend të $2px$ kemi $\dfrac{b}{a}x$, që do të thotë se $2p=\dfrac{b}{a} \rArr p=\dfrac{b}{2a}$. Tani shtojmë një $p^2$ në krahun e majtë për të na ndihmuar të formojmë katrorin e plotë, $x^2+\dfrac{b}{a}x+ (\dfrac{b}{2a})^2$, dhe e shtojmë dhe në krahun e djathtë në mënyrë që kjo vlerë të zhduket, pra do kishim $x^2 + \dfrac{b}{a}x + (\dfrac{b}{2a})^2 = -\dfrac{c}{a}+(\dfrac{b}{2a})^2$. Krahu i majtë na kthehet në katror të plotë, pra $(x+\dfrac{b}{2a})^2$, ndërsa pasi të kryejmë veprimet në krahun e djathtë do kishim $-\dfrac{c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}$. Sërish në krahun e djathtë mund të gjejmë emëruesin e përbashkët dhe të thjeshtojmë më tepër, $\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$.

Tani na mbetet të marrim rrënjën katrore nga të dyja krahët që të veçojmë $x$, pra do kishim $\sqrt{(x+\dfrac{b}{2a})}^2 = \sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}$ $\rArr$ $x+\dfrac{b}{2a}=\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}} \rArr x+\dfrac{b}{2a} = \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \rArr x=\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\dfrac{b}{2a} = \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}-b}{2a} = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.