Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa I

Zgjidhja e ushtrimit 8

Zgjidhja e ushtrimit 8 të mësimit 10.3A në librin Matematika 10 - 11: Pjesa I nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

Zgjidhni sistemet e ekuacioneve të mëposhtme, duke e dhënë përfundimin të rrumbullakosur në 2 shifra pas presjes dhjetore.

  1. {x+y=8y=x2\begin{cases} x+y=8 \\ y=x^2 \end{cases}
  2. {x+y=9y=x2−2\begin{cases} x+y=9 \\ y=x^2-2 \end{cases}
  3. {x+2y=7y=2x2\begin{cases} x+2y=7 \\ y=2x^2 \end{cases}
  4. {3x+2y=8y=2x2\begin{cases} 3x+2y=8 \\ y=2x^2 \end{cases}
  5. {x+2y=3x2+y2=3\begin{cases} x+2y=3 \\ x^2+y^2=3 \end{cases}
  6. {x+2y=4x2+y2=4\begin{cases} x+2y=4 \\ x^2+y^2=4 \end{cases}
  7. {x2−y2=2x+2y=10\begin{cases} x^2-y^2=2 \\ x+2y=10 \end{cases}
  8. {xy=3x+2y=8\begin{cases} xy=3 \\ x+2y=8 \end{cases}
  9. {y=x2−3x+7y−5x+8=0\begin{cases} y=x^2-3x+7 \\ y-5x+8=0 \end{cases}
  10. {x2+3xy=10x=2y\begin{cases} x^2+3xy=10 \\ x=2y \end{cases}

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

  1. Zëvëndësojmë y=x2y=x^2 në ekuacionin e parë dhe kemi x+x2=8⇒x2+x−8=0x+x^2=8 \rArr x^2+x-8=0. Gjejmë dallorin, D=b2−4ac=12−4×1×(−8)=1+32=33D=b^2-4ac=1^2- 4 \times 1 \times (-8) = 1+32=33. Meqë dallori është pozitiv, atëherë dy rrënjët e ekuacionit do ishin −b±D2a=−1±332⇒x=33−12\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1\pm\sqrt{33}}{2} \rArr x=\dfrac{\sqrt{33}-1}{2} ≈\approx 2.372.37 dhe x=−1−332x=\dfrac{-1-\sqrt{33}}{2} ≈\approx −3.37-3.37. Këto dy vlera të xx i zëvëndësojmë te njëri prej ekuacioneve për të gjetur vlerat e yy. Kemi x+y=8⇒2.37+y=8⇒y=8−2.37=5.63x+y=8 \rArr 2.37+y=8 \rArr y=8-2.37=5.63 dhe x+y=8⇒−3.37+y=8⇒y=8+3.37=11.37x+y=8 \rArr -3.37+y=8 \rArr y=8+3.37=11.37. Zgjidhje e sistemit janë pikat (−3.37,11.37)(-3.37,11.37) dhe (2.37,5.63)(2.37, 5.63).
  2. Zëvëndësojmë y=x2−2y=x^2-2 në ekuacionin e parë dhe kemi x+x2−2=9⇒x2+x−11=0x+x^2-2=9 \rArr x^2+x-11=0. Gjejmë dallorin, D=b2−4ac=12−4×1×(−11)=1+44=45D=b^2-4ac=1^2-4 \times 1 \times (-11) = 1+44=45. Meqë dallori është pozitiv, atëherë dy rrënjët e ekuacionit do ishin −b±D2a=−1±452⇒x=45−12≈2.85\dfrac{-b\pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{45}}{2} \rArr x=\dfrac{\sqrt{45}-1}{2} \approx 2.85 dhe x=−1−452≈−3.85x=\dfrac{-1-\sqrt{45}}{2} \approx -3.85. Këto dy vlera të xx i zëvëndësojmë te njëri prej ekuacioneve për të gjetur vlerat e yy. Kemi x+y=9⇒2.85+y=9⇒y=9−2.85=6.15x+y=9 \rArr 2.85+y=9 \rArr y=9-2.85=6.15 dhe x+y=9⇒−3.85+y=9⇒y=9+3.85=12.85x+y=9 \rArr -3.85+y=9 \rArr y=9+3.85=12.85. Zgjidhje e sistemit janë pikat (−3.85,12.85)(-3.85, 12.85) dhe (2.85,6.15)(2.85, 6.15).
  3. Zëvëndësojmë y=2x2y=2x^2 në ekuacionin e parë dhe kemi x+2(2x2)=7⇒4x2+x−7=0x+2(2x^2)=7 \rArr 4x^2+x-7=0. Gjejmë dallorin, D=b2−4ac=12−4×4×(−7)=1+112=113D=b^2-4ac = 1^2 - 4 \times 4 \times (-7)=1+112=113. Meqë dallori është pozitiv, atëherë dy rrënjët e ekuacionit do ishin −b±D2a=−1±1138⇒x=113−18≈1.20\dfrac{-b\pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{113}}{8} \rArr x=\dfrac{\sqrt{113}-1}{8} \approx 1.20 dhe −b±D2a=−1±1138⇒x=−1−1138≈−1.45\dfrac{-b\pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{113}}{8} \rArr x=\dfrac{-1-\sqrt{113}}{8} \approx -1.45. Këto dy vlera të xx i zëvëndësojmë te njëri prej ekuacioneve për të gjetur vlerat e yy. Kemi x+2y=7⇒1.20+2y=7⇒2y=7−1.20⇒2y=5.8⇒y=5.82=2.9x+2y=7 \rArr 1.20 + 2y=7 \rArr 2y=7-1.20 \rArr 2y=5.8 \rArr y=\dfrac{5.8}{2}=2.9 dhe x+2y=7⇒−1.45+2y=7⇒2y=7+1.45⇒2y=8.45⇒y=8.452≈4.23x+2y=7 \rArr -1.45 + 2y=7 \rArr 2y=7+1.45 \rArr 2y=8.45 \rArr y=\dfrac{8.45}{2} \approx 4.23. Zgjidhje e sistemit janë pikat (−1.45,4.23)(-1.45, 4.23) dhe (1.20,2.90)(1.20, 2.90).
  4. Zëvëndësojmë y=2x2y=2x^2 në ekuacionin e parë dhe kemi 3x+2(2x2)=8⇒4x2+3x−8=03x+2(2x^2)=8 \rArr 4x^2+3x-8=0. Gjejmë dallorin, D=b2−4ac=32−4×4×(−8)=9+128=137D=b^2-4ac=3^2-4 \times 4 \times (-8) = 9+128=137. Meqë dallori është pozitiv, atëherë dy rrënjët e ekuacionit do ishin −b±D2a=−3±1378⇒x=137−38≈1.09\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{137}}{8} \rArr x=\dfrac{\sqrt{137}-3}{8} \approx 1.09 dhe x=−3−1378≈−1.84x=\dfrac{-3-\sqrt{137}}{8} \approx -1.84. Këto dy vlera të xx i zëvëndësojmë te njëri prej ekuacioneve për të gjetur vlerat e yy. Kemi 3x+2y=8⇒3×1.09+2y=8⇒3.27+2y=8⇒2y=4.73⇒y=4.732≈2.373x+2y=8 \rArr 3 \times 1.09 + 2y=8 \rArr 3.27+2y=8 \rArr 2y=4.73 \rArr y=\dfrac{4.73}{2} \approx 2.37 dhe 3x+2y=8⇒3×(−1.84)+2y=8⇒−5.52+2y=8⇒2y=13.52⇒y=13.522≈6.763x+2y=8 \rArr 3 \times (-1.84) + 2y=8 \rArr -5.52+2y=8 \rArr 2y=13.52 \rArr y=\dfrac{13.52}{2} \approx 6.76. Zgjidhje e sistemit janë pikat (−1.84,6.76)(-1.84, 6.76) dhe (1.09,2.37)(1.09, 2.37).
  5. Veçojmë xx në ekuacionin e parë, x=3−2yx=3-2y, dhe e zëvëndësojmë në ekuacionin e dytë, (3−2y)2+y2=3⇒9−12y+4y2+y2−3=0⇒5y2−12y+6=0(3-2y)^2+y^2=3 \rArr 9-12y+4y^2+y^2-3=0 \rArr 5y^2-12y+6=0. Gjejmë dallorin, D=b2−4ac=(−12)2−4×5×6=144−120=24D=b^2-4ac=(-12)^2 - 4 \times 5 \times 6 = 144-120=24. Meqë dallori është pozitiv, atëherë dy rrënjët e ekuacionit do ishin −b±D2a=12±2410⇒y=12+2410≈1.69\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{12 \pm \sqrt{24}}{10} \rArr y=\dfrac{12+\sqrt{24}}{10} \approx 1.69 dhe y=12−2410≈0.71y=\dfrac{12-\sqrt{24}}{10} \approx 0.71. Këto dy vlera të yy i zëvëndësojmë te njëri prej ekuacioneve për të gjetur vlerat e xx. Kemi x+2y=3⇒x+2×1.69=3⇒x+3.38=3⇒x=−0.38x+2y=3 \rArr x+2 \times 1.69=3 \rArr x+3.38=3 \rArr x=-0.38 dhe x+2y=3⇒x+2×0.71=3⇒x+1.42=3⇒x=1.58x+2y=3 \rArr x+2 \times 0.71=3 \rArr x+1.42=3 \rArr x=1.58. Zgjidhje e sistemit janë pikat (−0.38,1.69)(-0.38, 1.69) dhe (1.58,0.71)(1.58, 0.71).
  6. Veçojmë xx në ekuacionin e parë, x=4−2yx=4-2y, dhe e zëvëndësojmë në ekuacionin e dytë, (4−2y)2+y2=4⇒42−16y+16+y2−4=0⇒5y2−16y+12=0(4-2y)^2+y^2=4 \rArr 4^2-16y+16+y^2-4=0 \rArr 5y^2-16y+12=0. Gjejmë dallorin, D=b2−4ac=(−16)2−4×5×12=256−240=16D=b^2-4ac=(-16)^2- 4 \times 5 \times 12 = 256-240=16. Meqë dallori është pozitiv, atëherë dy rrënjët e ekuacionit do ishin −b±D2a=16±162×5=16±410⇒y=16+410=2010=2\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{16 \pm \sqrt{16}}{2 \times 5} = \dfrac{16 \pm 4}{10} \rArr y=\dfrac{16+4}{10} = \dfrac{20}{10}=2 dhe y=16−410=1210=1.2y=\dfrac{16-4}{10} = \dfrac{12}{10}=1.2. Këto dy vlera të yy i zëvëndësojmë te njëri prej ekuacioneve për të gjetur vlerat e xx. Kemi x+2y=4⇒x+2×2=4⇒x+4=4⇒x=0x+2y=4 \rArr x + 2 \times 2 = 4 \rArr x+4=4 \rArr x=0 dhe x+2y=4⇒x+2×1.2=4⇒x+2.4=4⇒x=1.6x+2y=4 \rArr x + 2 \times 1.2 = 4 \rArr x + 2.4=4 \rArr x=1.6. Zgjidhje e sistemit janë pikat (0,2)(0,2) dhe (1.6,1.2)(1.6, 1.2).
  7. Veçojmë xx në ekuacionin e dytë, x=10−2yx=10-2y, dhe e zëvëndësojmë në ekuacionin e parë, (10−2y)2−y2=2⇒4y2−40y+100−y2−2=0⇒3y2−40y+98=0(10-2y)^2-y^2=2 \rArr 4y^2-40y+100-y^2-2=0 \rArr 3y^2-40y+98=0. Gjejmë dallorin, D=b2−4ac=(−40)2−4×3×98=1600−1176=424D=b^2-4ac = (-40)^2 - 4 \times 3 \times 98 = 1600-1176=424. Meqë dallori është pozitiv, atëherë dy rrënjët e ekuacionit do ishin −b±D2a=40±4246⇒y=40+4246≈10.10\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{40 \pm \sqrt{424}}{6} \rArr y=\dfrac{40 + \sqrt{424}}{6} \approx 10.10 dhe y=40−4246≈3.23y=\dfrac{40 - \sqrt{424}}{6} \approx 3.23. Këto dy vlera të yy i zëvëndësojmë te njëri prej ekuacioneve për të gjetur vlerat e xx. Kemi x+2y=10⇒x+2×10.10=10⇒x+20.20=10⇒x=−10.20x+2y=10 \rArr x+2 \times 10.10=10 \rArr x+20.20=10 \rArr x=-10.20 dhe x+2y=10⇒x+2×3.23=10⇒x+6.46=10⇒x=3.54x+2y=10 \rArr x + 2 \times 3.23 = 10 \rArr x+6.46=10 \rArr x=3.54. Zgjidhje e sistemit janë pikat (3.54,3.23)(3.54, 3.23) dhe (−10.20,10.10)(-10.20, 10.10).
  8. Veçojmë xx në ekuacionin e dytë, x=8−2yx=8-2y, dhe e zëvëndësojmë në ekuacionin e parë, (8−2y)y=3⇒−2y2+8y−3=0(8-2y)y=3 \rArr -2y^2+8y-3=0. Gjejmë dallorin, D=b2−4ac=82−4×(−2)×(−3)=64−24=40D=b^2-4ac = 8^2 - 4 \times (-2) \times (-3) = 64-24=40. Meqë dallori është pozitiv, atëherë dy rrënjët e ekuacionit do ishin −b±D2a=−8±40−4⇒y=40−8−4≈0.42\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-8 \pm \sqrt{40}}{-4} \rArr y = \dfrac{\sqrt{40}-8}{-4} \approx 0.42 dhe y=−40−8−4≈3.58y = \dfrac{-\sqrt{40}-8}{-4} \approx 3.58. Këto dy vlera të yy i zëvëndësojmë te njëri prej ekuacioneve për të gjetur vlerat e xx. Kemi xy=3⇒x×0.42=3⇒x=30.42=7.14xy=3 \rArr x \times 0.42 = 3 \rArr x= \dfrac{3}{0.42} =7.14 dhe xy=3⇒x×3.58=3⇒x=33.58≈0.84xy=3 \rArr x \times 3.58 = 3 \rArr x=\dfrac{3}{3.58} \approx 0.84. Zgjidhje e sistemit janë pikat (0.84,3.58)(0.84, 3.58) dhe (7.14,0.42)(7.14, 0.42).
  9. Veçojmë yy në ekuacionin e dytë, y=5x−8y=5x-8, dhe e zëvëndësojmë në ekuacionin e parë, 5x−8=x2−3x+7⇒x2−3x−5x+7+8=0⇒x2−8x+15=05x-8=x^2-3x+7 \rArr x^2-3x-5x+7+8=0 \rArr x^2-8x+15=0. Gjejmë dallorin, D=b2−4ac=(−8)2−4×1×15=64−60=4D=b^2-4ac = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 15 = 64-60=4. Meqë dallori është pozitiv, atëherë dy rrënjët e ekuacionit do ishin −b±D2a=8±42=8±22⇒x=8+22=102=5\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{8 \pm 2}{2} \rArr x=\dfrac{8+2}{2} = \dfrac{10}{2}=5 dhe x=8−22=62=3x=\dfrac{8-2}{2} = \dfrac{6}{2}=3. Këto dy vlera të xx i zëvëndësojmë te njëri prej ekuacioneve për të gjetur vlerat e yy. Kemi y−5x+8=0⇒y−5×5+8=0⇒y−25+8=0⇒y=17y-5x+8=0 \rArr y - 5 \times 5 + 8 = 0 \rArr y-25+8=0 \rArr y=17 dhe y−5x+8=0⇒y−5×3+8=0⇒y−15+8=0⇒y=7y-5x+8=0 \rArr y - 5 \times 3 + 8 = 0 \rArr y-15+8=0 \rArr y=7. Zgjidhje e sistemit janë pikat (3,7)(3,7) dhe (5,17)(5,17).
  10. Zëvëndësojmë x=2yx=2y në ekuacionin e parë dhe kemi (2y)2+3×(2y)×y=10⇒4y2+6y2=10⇒10y2=10⇒y2=1010⇒y2=1⇒y=1=±1(2y)^2+3 \times (2y) \times y = 10 \rArr 4y^2+6y^2=10 \rArr 10y^2=10 \rArr y^2 = \dfrac{10}{10} \rArr y^2=1 \rArr y=\sqrt{1} = \pm1. Dy vlerat e yy i zëvëndësojmë te njëri prej ekuacioneve për të gjetur vlerat e xx. Kemi x=2y=2×1=2x=2y=2 \times 1 = 2 dhe x=2y=2×(−1)=−2x=2y=2 \times (-1) = -2. Zgjidhje e sistemit janë pikat (−2,−1)(-2,-1) dhe (2,1)(2,1).