Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa I

Zgjidhja e ushtrimit 8

Zgjidhja e ushtrimit 8 të mësimit 10.4A në librin Matematika 10 - 11: Pjesa I nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

Zgjidhni inekuacionet e mëposhtme të fuqisë së dytë.

  1. x2<64x^2<64
  2. x2>1x^2>1
  3. x2+2x>0x^2+2x>0
  4. x2−6x≤0x^2-6x \leq 0
  5. x2+6x+8<0x^2+6x+8<0
  6. x2+x<12x^2+x<12
  7. 2x2−5x−3≤02x^2-5x-3 \leq 0
  8. 3x2+2≤03x^2+2 \leq 0

Dëshiron të blesh libra manga?

Kliko këtu për të parë ofertat e Kleptobuk

Zgjidhja

  1. x2−64<0⇒(x−8)(x+8)<0x^2-64<0 \rArr (x-8)(x+8)<0. Pikat ku ndryshon shenja do ishin (x−8)(x+8)=0⇒x−8=0⇒x=8(x-8)(x+8)=0 \rArr x-8=0 \rArr x=8 dhe x+8=0⇒x=−8x+8=0 \rArr x=-8. Nëse provojmë numra x<−8x<-8, si përshembull x=−9x=-9, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet i pavërtetë, x2<64⇒(−9)2<64⇒81<64x^2<64 \rArr (-9)^2<64 \rArr 81<64, ndaj themi se x<−8x<-8 nuk është zgjidhje e saktë. Nëse provojmë numra x>8x>8, si përshembull x=9x=9, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet sërish i pavërtetë, x2<64⇒92<64⇒81<64x^2<64 \rArr 9^2<64 \rArr 81<64. Po të provojmë numra x>−8x>-8 dhe x<8x<8, si përshembull x=1x=1, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet i vërtetë, x2<64⇒12<64⇒1<64x^2<64 \rArr 1^2<64 \rArr 1<64. Themi se zgjidhje e inekuacionit është −8<x<8-8<x<8.
  2. x2−1>0⇒(x−1)(x+1)>0x^2-1>0 \rArr (x-1)(x+1)>0. Pikat ku ndryshon shenja do ishin (x−1)(x+1)=0⇒x−1=0⇒x=1(x-1)(x+1)=0 \rArr x-1=0 \rArr x=1 dhe x+1=0⇒x=−1x+1=0 \rArr x=-1. Nëse provojmë numra x<−1x<-1, si përshembull x=−2x=-2, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet i vërtetë, x2>1⇒(−2)2>1⇒4>1x^2>1 \rArr (-2)^2 > 1 \rArr 4>1. Nëse provojmë numra x>1x>1, si përshembull x=2x=2, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet sërish i vërtetë, x2>1⇒22>1⇒4>1x^2>1 \rArr 2^2>1 \rArr 4>1. Po të provojmë numra x>−1x>-1 dhe x<1x<1, si përshembull x=0x=0, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet i pavërtetë, x2>1⇒02>1⇒0>1x^2>1 \rArr 0^2>1 \rArr 0>1. Themi se zgjidhje e inekuacionit është x<−1x<-1 dhe x>1x>1.
  3. x(x+2)>0x(x+2)>0. Pikat ku ndryshon shenja do ishin x(x+2)=0⇒x=0x(x+2)=0 \rArr x=0 dhe x+2=0⇒x=−2x+2=0 \rArr x=-2. Nëse provojmë numra x<−2x<-2, si përshembull x=−3x=-3, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet i vërtetë, x2+2x>0⇒(−3)2+2×(−3)>0⇒9−6>0⇒3>0x^2+2x>0 \rArr (-3)^2+2 \times (-3)>0 \rArr 9-6>0 \rArr 3>0. Nëse provojmë numra x>0x>0, si përshembull x=1x=1, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet sërish i vërtetë, x2+2x>0⇒12+2×1>0⇒1+2>0⇒3>0x^2+2x>0 \rArr 1^2 + 2 \times 1 > 0 \rArr 1+2>0 \rArr 3>0. Po të provojmë numra x>−2x>-2 dhe x<0x<0, si përshembull x=−1x=-1, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet i pavërtetë, x2+2x>0⇒(−1)2+2×(−1)>0⇒1−2>0⇒−1>0x^2+2x>0 \rArr (-1)^2 + 2 \times (-1) > 0 \rArr 1-2>0 \rArr -1>0. Themi se zgjidhje e inekuacionit është x<−2x<-2 dhe x>0x>0.
  4. x(x−6)≤0x(x-6)\leq 0. Pikat ku ndryshon shenja do ishin x(x−6)=0⇒x=0x(x-6)=0 \rArr x=0 dhe x−6=0⇒x=6x-6=0 \rArr x=6. Nëse provojmë numra x<0x<0, si përshembull x=−1x=-1, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet i pavërtetë, x2−6x≤0⇒(−1)2−6×(−1)≤0⇒1+6≤0⇒7≤0x^2-6x \leq 0 \rArr (-1)^2 - 6 \times (-1) \leq 0 \rArr 1+6 \leq 0 \rArr 7 \leq 0. Nëse provojmë numra x>6x>6, si përshembull x=7x=7, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet sërish i pavërtetë, x2−6x≤0⇒72−6×7≤0⇒49−42≤0⇒7≤0x^2-6x\leq 0 \rArr 7^2- 6 \times 7 \leq 0 \rArr 49-42\leq 0 \rArr 7\leq 0. Po të provojmë numra x>0x>0 dhe x<6x<6, si përshembull x=1x=1, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet i vërtetë, x2−6x≤0⇒12−6×1≤0⇒1−6≤0⇒−5≤0x^2-6x \leq 0 \rArr 1^2 - 6 \times 1 \leq 0 \rArr 1-6 \leq 0 \rArr -5 \leq 0. Skajet ku ndryshon shenja gjithmonë përfshihen në zgjidhje, ndaj themi se zgjidhje e inekuacionit është 0≤x≤60 \leq x \leq 6.
  5. x2+2x+4x+8<0⇒x(x+2)+4(x+2)<0⇒(x+2)(x+4)<0x^2+2x+4x+8<0 \rArr x(x+2)+4(x+2)<0 \rArr (x+2)(x+4)<0. Pikat ku ndryshon shenja do ishin (x+2)(x+4)=0⇒x+2=0⇒x=−2(x+2)(x+4)=0 \rArr x+2=0 \rArr x=-2 dhe x+4=0⇒x=−4x+4=0 \rArr x=-4. Nëse provojmë numra x<−4x<-4, si përshembull x=−5x=-5, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet i pavërtetë, x2+6x+8<0⇒(−5)2+6×(−5)+8<0⇒25−30+8<0⇒3<0x^2+6x+8 < 0 \rArr (-5)^2+6 \times (-5) + 8 < 0 \rArr 25-30+8<0 \rArr 3<0. Nëse provojmë numra x>−2x>-2, si përshembull x=0x=0, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet sërish i pavërtetë, x2+6x+8<0⇒02+6×0+8<0⇒0+0+8<0⇒8<0x^2+6x+8<0 \rArr 0^2 + 6 \times 0 + 8 < 0 \rArr 0+0+8 < 0 \rArr 8<0. Po të provojmë numra x>−4x>-4 dhe x<−2x<-2, si përshembull x=−3x=-3, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet i vërtetë, x2+6x+8<0⇒(−3)2+6×(−3)+8<0⇒9−18+8<0⇒−1<0x^2+6x+8 < 0 \rArr (-3)^2 + 6 \times (-3) + 8 < 0 \rArr 9-18+8<0 \rArr -1<0. Themi se zgjidhje e inekuacionit është −4<x<−2-4<x<-2.
  6. x2+x−12<0⇒x2+4x−3x−12<0⇒x(x+4)−3(x+4)<0⇒(x+4)(x−3)<0x^2+x-12<0 \rArr x^2+4x-3x-12<0 \rArr x(x+4)-3(x+4)<0 \rArr (x+4)(x-3)<0. Pikat ku ndryshon shenja do ishin (x+4)(x−3)=0⇒x+4=0⇒x=−4(x+4)(x-3)=0 \rArr x+4=0 \rArr x=-4 dhe x−3=0⇒x=3x-3=0 \rArr x=3. Nëse provojmë numra x<−4x<-4, si përshembull x=−5x=-5, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet i pavërtetë, x2+x<12⇒(−5)2+(−5)<12⇒25−5<12⇒20<12x^2+x<12 \rArr (-5)^2+(-5)<12 \rArr 25-5<12 \rArr 20<12. Nëse provojmë numra x>3x>3, si përshembull x=4x=4, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet sërish i pavërtetë, x2+x<12⇒42+4<12⇒16+4<12⇒20<12x^2+x<12 \rArr 4^2+4<12 \rArr 16+4<12 \rArr 20<12. Po të provojmë numra x>−4x>-4 dhe x<3x<3, si përshembull x=0x=0, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet i vërtetë, x2+x<12⇒02+0<12⇒0<12x^2+x<12 \rArr 0^2+0 < 12 \rArr 0<12. Themi se zgjidhje e inekuacionit është −4<x<3-4 < x < 3.
  7. 2x2+x−6x−3≤0⇒x(2x+1)−3(2x+1)≤0⇒(2x+1)(x−3)≤02x^2+x-6x-3 \leq 0 \rArr x(2x+1)-3(2x+1) \leq 0 \rArr (2x+1)(x-3) \leq 0. Pikat ku ndryshon shenja do ishin (2x+1)(x−3)=0⇒2x+1=0⇒2x=−1⇒x=−12=−0.5(2x+1)(x-3)=0 \rArr 2x+1=0 \rArr 2x=-1 \rArr x=\dfrac{-1}{2} = -0.5 dhe x−3=0⇒x=3x-3=0 \rArr x=3. Nëse provojmë numra x<−0.5x<-0.5, si përshembull x=−1x=-1, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet i pavërtetë, 2×(−1)2−5×(−1)−3≤0⇒2×1+5−3≤0⇒2+5−3≤0⇒4≤02 \times (-1)^2 - 5 \times (-1) - 3 \leq 0 \rArr 2 \times 1 +5-3 \leq 0 \rArr 2+5-3 \leq 0 \rArr 4 \leq 0. Nëse provojmë numra x>3x>3, si përshembull x=4x=4, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet sërish i pavërtetë, 2×42−5×4−3≤0⇒2×16−20−3≤0⇒32−20−3≤0⇒9≤02 \times 4^2 - 5 \times 4 - 3 \leq 0 \rArr 2 \times 16 - 20 - 3 \leq 0 \rArr 32-20-3 \leq 0 \rArr 9 \leq 0. Po të provojmë numra x>−0.5x>-0.5 dhe x<3x<3, si përshembull x=0x=0, atëherë inekuacioni ynë fillestar bëhet i vërtetë, 2×02−5×0−3≤0⇒0−0−3≤0⇒−3≤02 \times 0^2 - 5 \times 0 - 3 \leq 0 \rArr 0-0-3 \leq 0 \rArr -3\leq 0. Skajet ku ndryshon shenja gjithmonë përfshihen në zgjidhje, ndaj themi se zgjidhje e inekuacionit është −0.5≤x≤3-0.5 \leq x \leq 3.
  8. Ky inekuacion nuk ka zgjidhje, sepse për çdo vlerë që mund t'i japim x2x^2, ai do jetë gjithmonë pozitiv duke na e dhënë gjithë vlerën e 3x2+23x^2+2 pozitive.