Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa I

Zgjidhja e ushtrimit 15

Zgjidhja e ushtrimit 15 të mësimit Përsëritje për krerët 7-12 në librin Matematika 10 - 11: Pjesa I nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

Një shtëpi ka një kopsht në formë drejtkëndëshi (ABCD), me përmasa 12 m me 9 m; CD është brinjë e shtëpisë, me gjatësi 9 m. Një dritare është në qendër të CD dhe ka një modem i cili shpërndan sinjale në një reze prej 7,5 m.

  1. Ndërtoni një diagram të kopshtit me anë të vizores dhe kompasit.
  2. Ngjyrosni sipërfaqen e kopshtit deri ku arrin sinjali.
  3. Irini është ulur në një kolltuk të vendosur 7,2 m larg A dhe 5,2 m larg B. A është Irini brenda zonës së sinjalit? Argumentoni përgjigjen tuaj.
  4. Vizatoni dhe matni një segment në diagramin tuaj, për të gjetur rrezen e sinjalit që nevojitet për të mbuluar të gjithë kopshtin me internet.

Dëshiron të blesh libra manga?

Kliko këtu për të parë ofertat e Kleptobuk

Zgjidhja

Për të zgjidhur këtë problem, do të ndjekim hapat e dhënë:

  1. Ndërtimi i diagramit:

    Për të ndërtuar diagramin me vizore dhe kompas, ndiqni këto hapa:

    • Vizatoni një segment CD me gjatësi 9 cm (përfaqëson 9 m). Kjo do të jetë brinja e shtëpisë.
    • Nga pikat C dhe D, vizatoni segmente pingul (drejt lart ose poshtë, në varësi të orientimit që zgjidhni) me gjatësi 12 cm (përfaqëson 12 m). Këto do të jenë brinjët BC dhe AD.
    • Lidheni pikat A dhe B. Kjo do të formojë drejtkëndëshin ABCD.
    • Gjeni pikën e mesit të segmentit CD. Kjo pikë do të jetë vendndodhja e dritares (dhe modem-it). Nëse CD është 9 m, pika e mesit është në 4.5 m nga C ose D.
    • Me kompas, vizatoni një hark rrethi me qendër pikën e mesit të CD-së dhe me rreze 7.5 cm (përfaqëson 7.5 m). Ky hark tregon zonën e mbulimit të sinjalit.

  2. Ngjyrosja e sipërfaqes së kopshtit brenda zonës së sinjalit:

    Duke përdorur diagramin e vizatuar në hapin 1, zona që duhet ngjyrosur është pjesa e kopshtit (drejtkëndëshi ABCD) që mbivendoset me rrethin me rreze 7.5 m të qendërzonuar në pikën e mesit të CD-së. Ngjyrosni këtë zonë.

  3. Pozicioni i Irinit dhe zona e sinjalit:

    Le të gjejmë koordinatat e pikave dhe të modem-it. Le të vendosim C në origjinën $(0,0)$ dhe D në $(9,0)$. Atëherë A është në $(9,12)$ dhe B është në $(0,12)$.

    Pika e mesit të CD (modemi) është $M = \left(\frac{0+9}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (4.5, 0)$.

    Irini është 7.2 m larg A dhe 5.2 m larg B.

    Le të jetë pozicioni i Irinit $(x_I, y_I)$.

    Distanca nga A: $d(I,A)^2 = (x_I - 9)^2 + (y_I - 12)^2 = (7.2)^2 = 51.84$

    Distanca nga B: $d(I,B)^2 = (x_I - 0)^2 + (y_I - 12)^2 = (5.2)^2 = 27.04$

    Nga ekuacioni i dytë: $x_I^2 + (y_I - 12)^2 = 27.04$.

    Zëvendësojmë $(y_I - 12)^2 = 27.04 - x_I^2$ në ekuacionin e parë:

    $(x_I - 9)^2 + (27.04 - x_I^2) = 51.84$

    $x_I^2 - 18x_I + 81 + 27.04 - x_I^2 = 51.84$

    $-18x_I + 108.04 = 51.84$

    $-18x_I = 51.84 - 108.04$

    $-18x_I = -56.2$

    $x_I = \frac{-56.2}{-18} \approx 3.122$

    Tani gjejmë $y_I$:

    $(y_I - 12)^2 = 27.04 - x_I^2 = 27.04 - (3.122)^2 \approx 27.04 - 9.747 \approx 17.293$

    $y_I - 12 = \pm\sqrt{17.293} \approx \pm 4.158$

    Meqenëse Irini është në kopsht, $y_I$ duhet të jetë midis 0 dhe 12 (ose mbi vijën CD). Kopshti është drejtkëndësh ABCD me CD brinjë e shtëpisë. Zakonisht supozohet kopshti mbi CD. Nëse kopshti është "lart" (d.m.th. $y > 0$), atëherë: $y_I = 12 - 4.158 = 7.842$ (ose $y_I = 12 + 4.158 = 16.158$, e cila do të ishte jashtë kopshtit nëse AD dhe BC janë 12m gjatësi. Nëse 12m është brinja e kopshtit, atëherë $y_I$ duhet të jetë midis 0 dhe 12).

    Pozicioni i Irinit është përafërsisht $(3.122, 7.842)$.

    Tani llogarisim distancën e Irinit nga modemi M $(4.5, 0)$:

    $d(I,M) = \sqrt{(3.122 - 4.5)^2 + (7.842 - 0)^2}$

    $d(I,M) = \sqrt{(-1.378)^2 + (7.842)^2}$

    $d(I,M) = \sqrt{1.899 + 61.497}$

    $d(I,M) = \sqrt{63.396} \approx 7.962$ m.

    Rrezja e sinjalit është 7.5 m. Meqenëse $d(I,M) \approx 7.962$ m $> 7.5$ m, Irini nuk është brenda zonës së sinjalit.

  4. Rrezja e sinjalit për të mbuluar të gjithë kopshtin:

    Për të mbuluar të gjithë kopshtin, sinjali duhet të arrijë në pikën më të largët të kopshtit nga modemi. Modemi është në qendër të CD, pra në $(4.5, 0)$. Kopshti është drejtkëndëshi ABCD. Pikat më të largëta nga $(4.5, 0)$ do të jenë kulmet A dhe B.

    Koordinatat e A janë $(9, 12)$ dhe B janë $(0, 12)$.

    Llogarisim distancën nga modemi M $(4.5, 0)$ deri në pikën A $(9, 12)$:

    $d(M,A) = \sqrt{(9 - 4.5)^2 + (12 - 0)^2}$

    $d(M,A) = \sqrt{(4.5)^2 + (12)^2}$

    $d(M,A) = \sqrt{20.25 + 144}$

    $d(M,A) = \sqrt{164.25} \approx 12.816$ m.

    Llogarisim distancën nga modemi M $(4.5, 0)$ deri në pikën B $(0, 12)$:

    $d(M,B) = \sqrt{(0 - 4.5)^2 + (12 - 0)^2}$

    $d(M,B) = \sqrt{(-4.5)^2 + (12)^2}$

    $d(M,B) = \sqrt{20.25 + 144}$

    $d(M,B) = \sqrt{164.25} \approx 12.816$ m.

    Siç pritet, distancat janë të njëjta për shkak të simetrisë.

    Rrezja e sinjalit që nevojitet për të mbuluar të gjithë kopshtin është distanca nga modemi deri në pikën më të largët të kopshtit, e cila është rreth 12.82 m.

    Për të vizatuar dhe matur segmentin në diagramin tuaj: vizatoni një segment nga pika e mesit të CD-së (modemi) deri në pikën A (ose B) të drejtkëndëshit. Mateni këtë segment me vizore. Duhet të jetë rreth 12.8 cm në diagramin tuaj (nëse 1 cm = 1 m).