Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa I

Zgjidhja e ushtrimit 3

Zgjidhja e ushtrimit 3 të mësimit Vlerësim 10 në librin Matematika 10 - 11: Pjesa I nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

  1. Një katror e ka brinjën ss cm. Një katror tjetër e ka brinjën 2 cm më të vogël. Shuma e syprinave të të dy katrorëve është 200 cm2. Gjeni gjatësinë e brinjës së katrorit të parë.
  2. Dy numra të thjeshtë të njëpasnjëshëm, kanë ndryshesën 6 dhe prodhim 3127. Gjeni numrat.
  3. Formula S=n(n+1)2S=\dfrac{n(n+1)}{2} tregon shumën e numrave 1+2+...+n1+2+...+n. Shuma e numrave nga 1 deri te nn është 5050. Gjeni nn.

Dëshiron të mësosh me video?

Kliko këtu dhe bëj Subscribe në YouTube!

Zgjidhja

  1. Syprina e katrorit të parë është s2s^2, ndërsa brinja e katrorit të dytë, s−2s-2, do jepte një syprinë (s−2)2(s-2)^2 për katrorin e dytë. Shuma e dy syprinave do ishte s2+(s−2)2=200s^2+(s-2)^2=200 cm2. Kryejmë veprimet për të gjetur ss, s2+s2−4s+4=200⇒2s2−4s+4−200=0⇒2s2−4s−196=0⇒2(s2−2s−98)=0⇒s2−2s−98=0s^2+s^2-4s+4=200 \rArr 2s^2-4s+4-200=0 \rArr 2s^2-4s-196=0 \rArr 2(s^2-2s-98)=0 \rArr s^2-2s-98=0. Plotësojmë katrorin e plotë për të gjetur vlerat e ss, s2−2s=98⇒s2−2s+1=98+1⇒(s−1)2=99⇒(s−1)2=99⇒s−1=±311⇒s=1+311s^2-2s=98 \rArr s^2-2s+1=98+1 \rArr (s-1)^2=99 \rArr \sqrt{(s-1)^2} = \sqrt{99} \rArr s-1= \pm 3\sqrt{11} \rArr s=1+3\sqrt{11} dhe s=1−311s=1-3\sqrt{11}. Brinja nuk mund të ketë gjatësi negative, ndaj themi se s=1+311s=1+3\sqrt{11} cm.
  2. Shënojmë numrat e thjeshtë të njëpasnjëshëm me aa dhe bb dhe do kishim a−b=6a-b=6 dhe ab=3127ab=3127. Veçojmë aa te ekuacioni i parë, a=b+6a=b+6, dhe e zëvëndësojmë te i dyti, b(b+6)=3127⇒b2+6b−3127=0⇒b2+59b−53b−3127=0⇒b(b+59)−53(b+59)=0⇒(b+59)(b−53)=0b(b+6)=3127 \rArr b^2+6b-3127=0 \rArr b^2 +59b-53b-3127=0 \rArr b(b+59)-53(b+59)=0 \rArr (b+59)(b-53)=0 ⇒\rArr b+59=0⇒b=−59b+59=0 \rArr b=-59 dhe b−53=0⇒b=53b-53=0 \rArr b=53. Numrat e thjeshtë nuk mund të jenë negativ, ndaj marrim vetëm b=53b=53 të cilën e zëvëndësojmë te njëri prej ekuacioneve për të gjetur aa, a−b=6⇒a−53=6⇒a=59a-b=6 \rArr a-53=6 \rArr a=59. Dy numrat e thjeshtë të njëpasnjëshëm janë 53 dhe 59.
  3. Do kishim S=5050S=5050, pra n(n+1)2=5050\dfrac{n(n+1)}{2}=5050. Kryejmë veprimet për të gjetur nn, n2+n2=5050⇒n2+n=5050×2⇒n2+n=10100⇒n2+n−10100=0⇒n2+101n−100n−10100=0⇒n(n+101)−100(n+101)=0⇒(n+101)(n−100)=0⇒n+101=0⇒n=−101\dfrac{n^2+n}{2}=5050 \rArr n^2+n=5050 \times 2 \rArr n^2+n=10100 \rArr n^2+n-10100 = 0 \rArr n^2+101n-100n-10100=0 \rArr n(n+101)-100(n+101)=0 \rArr (n+101)(n-100)=0 \rArr n+101=0 \rArr n=-101 dhe n−100=0⇒n=100n-100=0 \rArr n=100. Vargu i numrave është pozitiv, ndaj themi se n=100n=100 (1+2+...+1001+2+...+100).