Zgjidhja e ushtrimit 3

Funksioni i dhënë është:

$$h(x) = 100 + 48x - x^2$$

Kjo është një parabolë që hapet poshtë, meqë koeficienti i $x^2$ është negativ.

1. Ndërtimi i grafikut të funksionit:

Për të ndërtuar grafikun, gjejmë disa pika kryesore:

• Pika e prerjes me boshtin $h$ (kur $x=0$):$$h(0) = 100 + 48(0) - (0)^2 = 100$$Kështu, pika është $(0, 100)$.
• Pikat e prerjes me boshtin $x$ (kur $h=0$):$$0 = 100 + 48x - x^2$$Riorganizojmë ekuacionin:$$x^2 - 48x - 100 = 0$$Përdorim formulën kuadratike $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:$$x = \frac{-(-48) \pm \sqrt{(-48)^2 - 4(1)(-100)}}{2(1)}$$$$x = \frac{48 \pm \sqrt{2304 + 400}}{2}$$$$x = \frac{48 \pm \sqrt{2704}}{2}$$$$x = \frac{48 \pm 52}{2}$$Dy zgjidhjet janë:$$x_1 = \frac{48 - 52}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$$$x_2 = \frac{48 + 52}{2} = \frac{100}{2} = 50$$Meqenëse largësia horizontale $x$ nuk mund të jetë negative, marrim $x=50$. Kështu, pika është $(50, 0)$.
• Kulmi i parabolës (pika më e lartë):Koordinata $x$ e kulmit jepet nga $x_v = \frac{-b}{2a}$.$$x_v = \frac{-48}{2(-1)} = \frac{-48}{-2} = 24$$Zëvendësojmë $x_v = 24$ në funksion për të gjetur koordinatën $h$:$$h_v = 100 + 48(24) - (24)^2$$$$h_v = 100 + 1152 - 576$$$$h_v = 1680 - 576$$$$h_v = 676$$Kulmi është $(24, 676)$.

Për të ndërtuar grafikun, vizatoni një sistem koordinativ. Shënoni pikat $(0, 100)$, $(50, 0)$ dhe $(24, 676)$. Vizatoni një parabolë të butë që kalon nëpër këto pika, e cila hapet poshtë, me kulm në $(24, 676)$ dhe pret boshtin $x$ në $x=50$.

2. Gjeni pikën më të lartë që mund të arrijë shtiza:

Pika më e lartë është kulmi i parabolës. Siç u llogarit më sipër:

Koordinata $x$ e kulmit: $x_v = 24$ metra.

Lartësia $h$ në kulm: $h_v = 676$ centimetra.

Kështu, pika më e lartë që mund të arrijë shtiza është $676$ cm (ose $6.76$ metra).

3. Gjeni largësinë e hedhjes së shtizës:

Largësia e hedhjes së shtizës është pika ku shtiza prek tokën, pra kur $h=0$ dhe $x > 0$. Siç u llogarit më sipër, kjo ndodh kur $x=50$ metra.

Kështu, largësia e hedhjes së shtizës është $50$ metra.