Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa II

Zgjidhja e ushtrimit 3

Zgjidhja e ushtrimit 3 të mësimit 3.3A në librin Matematika 10 - 11: Pjesa II nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

Gjeni vëllimin e secilit trup të dhënë në figurën e mëposhtme.

Dëshiron të blesh libra manga?

Kliko këtu për të parë ofertat e Kleptobuk

Zgjidhja

  1. Figura na jep një kon me rreze 6 cm, i cili është prerë. Prerja e tij është një tjetër kon i vogël me rreze 3 cm. Përderisa dy konat vijnë nga i njëjti trup, ato janë të ngjashëm, që do të thotë se brinjët e tyre kanë një koeficient ngjashmërie, të cilin mund ta gjejmë lehtë me raportin e brinjëve homologe, apo në këtë rast me raportin e rrezeve të bazave të tyre, 36=12\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}. Kjo do të thotë se edhe lartësitë e tyre e respektojnë këtë raport. Nëse e shënojmë me hh lartësinë e konit të prerë (atij të voglit lart), atëherë lartësia e konit të plotë do ishte h+2h+2. Gjejmë hh duke kryer veprimet nga raporti, hh+2=12⇒2h=h+2⇒h=2\dfrac{h}{h+2} = \dfrac{1}{2} \rArr 2h=h+2 \rArr h=2 cm. Kaq është lartësia e konit të vogël që është hequr lart. Kjo do të thotë se lartësia e konit të plotë (përfshirë atë që është hequr lart) e ka vlerën 2+2=42+2=4 cm. Nga kjo mund të gjejmë vëllimin e konit të plotë, V=13πr2h=13×π×62×4V=\dfrac{1}{3} \pi r^2 h = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 4 == 48π48\pi cm3. Ndërsa koni i vogël i prerë (me rreze r=3r=3 cm dhe lartësi h=2h=2 cm) do e kishte vëllimin V=13×π×32×2V=\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 2 == 6π6\pi cm3. Më në fund mund të themi se vëllimi i trupit të treguar në figurë e ka vlerën V=48π−6π=42πV=48\pi - 6\pi = 42\pi cm3.
  2. Ky rast është i njëjtë me rastin që pamë më lart, veçse, në vend të rrezes së bazave të konit, na është dhënë diametri. Gjejmë rrezet shumë lehtë duke përgjysmuar diametrin, r=d÷2=2.4÷2=1.2r=d \div 2 = 2.4 \div 2 = 1.2 m për konin e plotë, dhe r=0.8÷2=0.4r=0.8 \div 2 = 0.4 m për konin e prerë lart. Raporti i brinjëve homologe do ishte 0.41.2=13\dfrac{0.4}{1.2} = \dfrac{1}{3}. Nëse quajmë me hh lartësinë e konit të vogël të prerë lart, atëherë lartësia e konit të plotë do ishte h+3h+3. Gjejmë hh nga koeficienti i ngjashmërisë, hh+3=13⇒3h=h+3⇒2h=3⇒h=32=1.5\dfrac{h}{h+3} = \dfrac{1}{3}\rArr 3h=h+3 \rArr 2h=3 \rArr h=\dfrac{3}{2}=1.5 m. Kaq do ishte lartësia e konit të vogël lart. Kjo do të thotë se lartësia e konit të plotë (përfshirë atë që është hequr lart) e ka vlerën 1.5+3=4.51.5 + 3 = 4.5 m. Me kaq të dhëna sa kemi mund të gjejmë vëllimet e dy trupave. Koni i plotë e ka vëllimin V=13×π×1.22×4.5V=\dfrac{1}{3} \times \pi \times 1.2^2 \times 4.5 == 2.16π2.16\pi m3, ndërsa koni i prerë e ka vëllimin V=13×π×0.42×1.5V=\dfrac{1}{3} \times \pi \times 0.4^2 \times 1.5 == 0.08π0.08\pi m3. Më në fund mund të themi se vëllimi i trupit të treguar në figurë e ka vlerën V=2.16π−0.08π=2.08πV=2.16\pi - 0.08\pi = 2.08\pi m3.