Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa II

Zgjidhja e ushtrimit 9

Zgjidhja e ushtrimit 9 të mësimit 3.3A në librin Matematika 10 - 11: Pjesa II nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

  1. Gjeni syprinën dhe vëllimin e trupit të treguar në figurë, në varësi të π\pi.
  2. Një trup i ngjashëm me të është 7 cm i gjatë. Gjeni syprinën dhe vëllimin e trupit të ri.

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

  1. Trupi formohet nga një kon me përftuese 20 cm, lartësi 16 cm dhe diametër 24 cm (rreze 24÷2=1224 \div 2 = 12 cm), vendosur nën një gjysmësferë me rreze 12 cm. Për të gjetur syprinën e trupit na duhet syprina anësore e konit dhe syprina e gjysmësferës. Syprinën anësore të konit e gjejmë me formulën S=πrl=π×12×20=240πS=\pi r l = \pi \times 12 \times 20 = 240\pi cm2. Syprina e një sfere e ka formulën S=4πr2S=4\pi r^2, ndërsa gjysmësfera do e kishte S=4πr2×12=2πr2S = 4\pi r^2 \times \dfrac{1}{2} = 2\pi r^2. Gjejmë syprinën e gjysmësferës, S=2×π×122=288πS=2 \times \pi \times 12^2 = 288\pi cm2. Trupi ynë e ka syprinën S=288π+240π=528πS=288\pi + 240\pi = 528\pi cm2. Për vëllimin na duhet gjithashtu vëllimi i konit dhe i gjysmësferës. Për vëllimin e konit na hyn në punë lartësia (16 cm), V=13×π×r2×hV=\dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h == 13×π×122×16\dfrac{1}{3} \times \pi \times 12^2 \times 16 == 768π768\pi cm3. Nga ana tjetër, nëse vëllimi i sferës gjehet me formulën V=43×π×r3V=\dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3, vëllimi i gjysmësferës do ishte V=43×π×r3×12V=\dfrac{\cancel4}{3} \times \pi \times r^3 \times \dfrac{1}{\cancel2} == 23πr3\dfrac{2}{3}\pi r^3. Zëvëndësojmë rrezen dhe kemi vëllimin e gjysmësferës V=23×π×123V=\dfrac{2}{3} \times \pi \times 12^3 == 1152π1152\pi cm3. Më në fund themi se vëllimi i trupit tonë e ka vlerën V=768π+1152π=1920πV=768\pi + 1152\pi = 1920\pi cm3.
  2. Gjatësia e trupit tonë aktual do ishte 16+12=2816+12=28 cm (16 cm është lartësia e konit dhe 12 cm është rrezja e sferës). Trupi i ri i ngjashëm e ka gjatësinë 7 cm. Raporti i gjatësive do ishte 728=14\dfrac{7}{28} = \dfrac{1}{4}. Ky është koeficienti i ngjashmërisë së dy trupave. Kur arrijmë të gjejmë koeficientin e ngjashmërisë, puna na bëhet shumë e lehtë. Nëse 14\dfrac{1}{4} na tregon raportin e çdo brinje homologe midis trupave, atëherë (14)2=116\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^2 = \dfrac{1}{16} na tregon raportin e syprinave të dy trupave të ngjashëm, ndaj do kishim 116=S528π\dfrac{1}{16} = \dfrac{S}{528\pi} ⇒\rArr 16S=528π⇒S=528π16=33π16S=528\pi \rArr S=\dfrac{528\pi}{16}=33\pi cm2. Kaq do jetë syprina e trupit të ri (më të vogël) të ngjashëm. Gjithashtu, për vëllimet, koeficienti i ngjashmërisë do ishte (14)3=164\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^3 = \dfrac{1}{64}. Bëjmë dhe raportin e vëllimeve, 164=V1920π⇒V=1920π64=30π\dfrac{1}{64} = \dfrac{V}{1920\pi} \rArr V= \dfrac{1920\pi}{64} = 30\pi cm3. Ky do ishte vëllimi i trupit të ri të ngjashëm.