Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa II

Zgjidhja e ushtrimit 5

Zgjidhja e ushtrimit 5 të mësimit 3.3Z në librin Matematika 10 - 11: Pjesa II nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

  1. Nga figura e mëposhtme, duke bashkuar OAOA me OBOB, formohet një kon. Gjeni diametrin e konit.
  2. Tregoni që syprina anësore e konit është S=πrlS=\pi rl.

Dëshiron të na kontaktosh?

Kliko këtu për të na shkruar në WhatsApp!

Zgjidhja

  1. Figura ka pamjen e një sektori qarkor me hark ABAB, rreze 10 cm dhe kënd 108°108\degree. Nëse paloset figura dhe formohet koni, harku ABAB do ishte perimetri i bazës së konit (që është rreth). Ne mund të gjejmë gjatësinë e harkut ABAB me formulën AB=2πrn360=π×10×108180=6πAB=\dfrac{\cancel2\pi r n}{\cancel{360}} = \dfrac{\pi \times 10 \times 108}{180} = 6\pi cm. Tani që dimë perimetrin e rrethit të bazës së konit, mund të gjejmë rrezen e rrethi nga formula e perimetrit, P=2πr⇒6π=2πr⇒r=6π2π=3P=2\pi r \rArr 6\pi = 2\pi r \rArr r=\dfrac{6\pi}{2\pi}=3 cm. Nga rrezja 3 cm mund të themi se diametri i konit është d=2r=2×3=6d=2r = 2 \times 3 = 6 cm.
  2. Syprina anësore e konit do ishte e barabartë me syprinën e sektorit qarkor që na jep figura, pasi kur ajo paloset dhe brinjët OAOA dhe OBOB bashkohen, atëherë na formohet e gjithë pjesa anësore e konit. Ndryshorja ll e dhënë tek kërkesa është përftuesja e konit, që në rastin tonë është rrezja e sektorit të qarkut. Siç e pamë më lart, gjatësia e harkut të sektorit mund të gjehet me 2πrn360\dfrac{2\pi rn}{360}, ku rr mund ta barazojmë me ll (përftuesja e konit) 2πnl360\dfrac{2\pi nl}{360}, por vetë ABAB është edhe perimetër i bazës së konit (rrethit), që në vetvete gjehet me formulën 2πr2\pi r, ndaj do kishim 2πnl360=2πr\dfrac{2\pi nl}{360} = 2\pi r. Duke pjesëtuar të dy krahët me 2π2\pi mund te themi se r=n360×lr=\dfrac{n}{360} \times l. Thamë në fillim se syprina anësore e konit është e barabartë me syprinën e sektorit qarkor. Syprinën e sektorit qarkor e gjejmë me formulën n360×πr2\dfrac{n}{360} \times \pi r^2, ose e shkruar ndryshe n360×l×πl\dfrac{n}{360} \times l \times \pi l, meqë rrezja e sektorit të qarkut ishte e barabartë me përftuesen e konit që formohet. Por vetën n360×l\dfrac{n}{360} \times l është rrezja e bazës së konit, kështu që themi se syprina anësore e konit do gjendet me formulën S=rπl=πrlS=r\pi l = \pi rl.