Zgjidhja e ushtrimit 12

Ania. Së pari vini re, katrori i një numri çift është çift dhe katrori i një numri tek është tek.

$(2a)^2 = 4a^2 = 2 \times 2a^2$ dhe $(2a + 1)^2 = 4a^2 + 4a + 1 = 2(2a^2 + 2a) + 1$.

Supozojmë të kundërtën që $\sqrt{2} = \dfrac{m}{n}$, ku $m$ dhe $n$ janë numra natyrorë pa faktorë të përbashkët. Prej këtej kemi $2 = \dfrac{m^2}{n^2}$, pra $2n^2 = m^2$. $m^2$ është çift, atëherë edhe $m$ është çift, prandaj mund të shkruhet në trajtën $m = 2x$ ku $x$ është numër natyror.

$2n^2 = (2x)^2 = 4x^2$, pra $n^2 = 2x^2$. Meqë $n^2$ është çift, atëherë edhe $n$ është çift. Prej këtej $m$ dhe $n$ kanë një faktor të përbashkët, 2, duke kundërshtuar kështu kushtin fillestar.