Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa II

Zgjidhja e ushtrimit 7

Zgjidhja e ushtrimit 7 të mësimit 7.2A në librin Matematika 10 - 11: Pjesa II nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

  1. Kopjoni tabelën.
  2. Përdorni trekëndëshat për të gjetur vlerat e sakta për rreshtat që u përkasin këndeve 30°30\degree, 45°45\degree dhe 60°60\degree. Aty ku është e nevojshme, përdorni numrat irracionalë.
  3. Plotësoni pjesën e mbetur të tabelës.

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

  2. Në trekëndëshin ABCABC do kishim dy këndet e bazës ACAC të barabarta, meqë kemi të bëjmë me trekëndësh kënddrejtë dybrinjënjëshëm, pra dhe ∠BAC=45°\angle BAC=45\degree. Me teoremën e Pitagorës mund të gjejmë hipotenuzën AC2=12+12=1+1=2⇒AC=2AC^2 = 1^2 + 1^2 = 1+1=2 \rArr AC=\sqrt{2}. Sa për këndet, do kishim sin⁡45°=12\sin 45\degree = \dfrac{1}{\sqrt{2}} dhe po kaq dhe cos⁡45°=12\cos 45\degree = \dfrac{1}{\sqrt2}. Ndërsa tg⁡45°=11=1\tg 45\degree = \dfrac{1}{1} = 1. Në trekëndëshin QPRQPR kemi sërish këndet e bazës të barabarta nga 60°60\degree, meqë trekëndëshi është dybrinjënjëshëm, dhe po ashtu e kemi të ndarë trekëndëshin në dy trekëndësha kënddrejtë kongruentë me hipotenuzë 2 cm. Mund të gjejmë këndin e mbetur për secilin, ∠QPS=∠RPS=180−90−60=30°\angle QPS = \angle RPS = 180 - 90 - 60 = 30\degree. Kateti përballë këndit 30°30\degree është sa gjysma e hipotenuzës, pra SQ=SR=2÷2=1SQ=SR=2 \div 2 = 1 cm. Katetin tjetër e gjejmë me teoremën e Pitagorës, 22=12+b2⇒4=1+b2⇒b2=4−1=3⇒b=32^2 = 1^2 + b^2 \rArr 4=1+b^2 \rArr b^2= 4-1=3 \rArr b = \sqrt{3}, pra PS=3PS=\sqrt{3}. Tani mund të themi se sin⁡30°=SQPQ=12\sin 30\degree = \dfrac{SQ}{PQ} = \dfrac{1}{2}, cos⁡30°=PSPQ=32\cos 30\degree = \dfrac{PS}{PQ} = \dfrac{\sqrt3}{2} dhe tg⁡30°=SQPS=13\tg 30\degree = \dfrac{SQ}{PS} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}. Për këndin 60°60\degree do kishim sin⁡60°=PSPQ=32\sin 60\degree = \dfrac{PS}{PQ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡60°=QSPQ=12\cos 60\degree = \dfrac{QS}{PQ} = \dfrac{1}{2} dhe tg⁡60°=PSSQ=31=3\tg 60\degree = \dfrac{PS}{SQ} = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}.
  3. Për këndin 0°0\degree duhet të imagjinoni një trekëndësh kënddrejtë që paloset. Mendoni trekëndësin ABCABC më lart ku këndi 45°45\degree shkon në zero duke bërë që kateti AB=0AB=0 cm dhe hipotenuza AC=BC=1AC=BC=1 cm. Kjo do të thotë se sin⁡0°=01=0\sin 0\degree = \dfrac{0}{1} = 0, ndërsa cos⁡0°=11=1\cos 0\degree = \dfrac{1}{1} = 1. Po ashtu dhe tg⁡0°=01=0\tg 0 \degree = \dfrac{0}{1} = 0. Për këndin 90°90\degree përdorim të njëjtën imagjinatë. Meqë kateti përballë këndit 0°0\degree është 0 cm, ai përballë këndit 90°90\degree do ishte 1 cm, ndaj sin⁡90°=11=1\sin90\degree = \dfrac{1}{1}=1, ndërsa cos⁡90°=01=0\cos 90\degree = \dfrac{0}{1}=0. Tangenti nuk do bënte kuptim, sepse do dilte tg⁡90°=10\tg 90\degree = \dfrac{1}{0}.