Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa II

Zgjidhja e ushtrimit 13

Zgjidhja e ushtrimit 13 të mësimit 7.3Z në librin Matematika 10 - 11: Pjesa II nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

  1. Tregoni që a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A.
  2. Shndërrojeni këtë përfundim në menyrë që të tregoni se cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.
  3. Tregoni që këto përfundime vlejnë edhe kur këndi AA është i gjerë.

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

  1. Nga trekëndëshi ADCADC kemi ⇒\rArr b2=h2+x2b^2=h^2+x^2 nga teorema e Pitagorës. E njejta gjë dhe për trekëndëshin DCBDCB ⇒\rArr a2=h2+(c−x)2a^2=h^2+(c-x)^2 ⇒\rArr a2=h2+c2−2cx+x2a^2=h^2+c^2-2cx+x^2. Duke zbritur a2a^2 dhe b2b^2 kemi ⇒\rArr a2−b2=h2+c2−2cx+x2−(h2+x2)=a^2-b^2=h^2+c^2-2cx+x^2-(h^2+x^2)= h2+c2−2cx−h2−x2=c2−2cxh^2+c^2-2cx-h^2-x^2=c^2-2cx. Në përfundim kemi a2−b2=c2−2cx⇒a^2-b^2=c^2-2cx\rArr a2=b2+c2−2cxa^2=b^2+c^2-2cx. Në trekëndëshin ADCADC, nga formulat trigonometrike kemi cos⁡A=xb\cos A=\dfrac{x}{b} ⇒\rArr x=bcos⁡Ax=b\cos A. Tani zëvëndësojmë xx-in tek shprehja e mëparshme dhe kemi a2=b2+c2−2cbcos⁡Aa^2=b^2+c^2-2cb\cos A.
  2. Nga shprehja a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A veçojmë 2bccos⁡A2bc\cos A që i bie ⇒\rArr 2bccos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A=b^2+c^2-a^2. Duke pjestuar me 2bc2bc tani kemi cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.
  3. Në qoftë se formojmë një trekëndësh këndrejtë të quajtur CDBCDB, me katete hh dhe c+xc+x me hipotenuzë aa dhe e ndajmë në dy trekëndësha të vegjel një këndgjerë që quhet CABCAB me brinjë bb dhe aa me bazë cc dhe një kënddrejtë të quajtur CDACDA me katete hh dhe xx me hipotenuzë bb. Për trekëndëshin CDBCDB nga teorema e Pitagorës kemi a2=h2+(x+c)2⇒a^2=h^2+(x+c)^2\rArr a2=h2+x2+2xc+c2a^2=h^2+x^2+2xc+c^2. Për trekëndëshin CDACDA kemi b2=h2+x2b^2=h^2+x^2. Duke zbritur a2a^2 dhe b2b^2 kemi ⇒\rArr a2−b2=a^2-b^2= h2+x2+2xc+c2−(h2+x2)=h^2+x^2+2xc+c^2-(h^2+x^2)= h2+x2+2xc+c2−h2−x2=h^2+x^2+2xc+c^2-h^2-x^2= c2+2xcc^2+2xc. Në përfundim kemi a2−b2=c2+2xca^2-b^2=c^2+2xc. Tani në trekëndëshin ADCADC kemi cos⁡(180−∠A)=xb\cos(180-\angle A)=\dfrac{x}{b} ⇒\rArr x=bcos⁡(180−∠A)x=b\cos(180-\angle A). Zëvëndësojmë xx-in tek shprehja e mëparshme dhe kemi a2−b2=c2+2cbcos⁡(180−∠A)a^2-b^2=c^2+2cb\cos(180-\angle A) ⇒\rArr a2=b2+c2+2cbcos⁡(180−∠A)a^2=b^2+c^2+2cb\cos(180-\angle A). Nga vetitë trigonometrike kemi cos⁡(180−∠A)=−cos⁡A\cos(180-\angle A)=-\cos A, që i bie ⇒\rArr a2=b2+c2+2cb(−cos⁡A)⇒a^2=b^2+c^2+2cb(-\cos A)\rArr a2=b2+c2−2cbcos⁡Aa^2=b^2+c^2-2cb\cos A.