Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa II
Zgjidhje ushtrimi

Zgjidhja e ushtrimit 13

Zgjidhja e ushtrimit 13 të mësimit 7.3Z - Trigonometri 2 në librin Matematika 10 - 11: Pjesa II nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

  1. Tregoni që a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A.
  2. Shndërrojeni këtë përfundim në menyrë që të tregoni se cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.
  3. Tregoni që këto përfundime vlejnë edhe kur këndi AA është i gjerë.

Zgjidhja

Në këtë vërtetim do të përdorim vetitë e trekëndëshave kënddrejtë dhe teoremën e Pitagorës për të nxjerrë Teoremën e Kosinusit.

1
Për pjesën a), shqyrtojmë dy trekëndëshat kënddrejtë $ADC$ dhe $BDC$ të krijuar nga lartësia $h$. Sipas teoremës së Pitagorës:

  • Në $\triangle ADC$: $h^2 + x^2 = b^2 \implies h^2 = b^2 - x^2$
  • Në $\triangle BDC$: $h^2 + (c - x)^2 = a^2$

Zëvendësojmë $h^2$ nga barazimi i parë te i dyti:

$(b^2 - x^2) + (c - x)^2 = a^2$

$b^2 - x^2 + c^2 - 2cx + x^2 = a^2$

$b^2 + c^2 - 2cx = a^2$

Duke ditur që në $\triangle ADC$, $\cos A = \frac{x}{b}$, kemi $x = b \cos A$. Duke e zëvendësuar, marrim: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.

2

Për pjesën b), duhet të veçojmë $\cos A$ nga formula e mësipërme. Kalojmë kufizat në anët përkatëse:

$2bc \cos A = b^2 + c^2 - a^2$

Pjesëtojmë të dyja anët me $2bc$ për të gjetur vlerën e kosinusit:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Edhe 1 hap deri te përgjigjja

Hapi i fundit është falas në aplikacion

Vazhdo nga hapi 3, me shpjegime të detajuara, formula dhe vizualizime interaktive.

4.8/5100,000+ shkarkimePa pagesë, gjithmonë
Shkarko nëApp Store
Merr nëGoogle Play

Të gjitha ushtrimet e librit, pa asnjë kosto.

Vazhdo në aplikacion