Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa II

Zgjidhja e ushtrimit 7

Zgjidhja e ushtrimit 7 të mësimit 7.4A në librin Matematika 10 - 11: Pjesa II nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

Trupi i dhënë në figurë, përbëhet nga dy piramida me bazë katrore. Llogaritni:

  1. Gjatësitë e brinjëve anësore.
  2. Këndin ndërmjet njërës nga faqet e vogla trekëndore dhe faqes së madhe trekëndore bashkangjitur saj.

Dëshiron të blesh libra manga?

Kliko këtu për të parë ofertat e Kleptobuk

Zgjidhja

  1. Në fillim gjejmë diagonalen e bazës që kanë të dyja piramidat nepërmjet teoremës së Pitagorës ⇒\rArr d2=362+362d^2=36^2+36^2 =1296+1296=1296+1296 =2592=2592 ⇒\rArr d=2592=362d=\sqrt{2592}=36\sqrt{2}. Pastaj gjejmë gjysmën e diagonales që formon një trekëndësh këndrejtë me lartësinë e piramidave dhe brinjëve anësore të tyre ⇒\rArr 3622=182\dfrac{36\sqrt{2}}{2}=18\sqrt{2}. Tani gjejmë brinjën anësore të piramidës së vogël nepërmjet teoremës së Pitagorës ⇒a2=322+(182)2\rArr a^2=32^2+(18\sqrt{2})^2 =1024+324×2=1024+648=1672=1024+324\times2=1024+648=1672 ⇒a=1672≈41\rArr a=\sqrt{1672}\approx41 mm. E njejta mënyrë përdoret dhe për gjetjen e brinjës anësore të piramidës së madhe ⇒\rArr b2=482+(182)2b^2=48^2+(18\sqrt{2})^2 =2304+324×2=2304+648=2952=2304+324\times2=2304+648=2952 ⇒\rArr b=2952≈54b=\sqrt{2952}\approx54 mm.
  2. Për të gjetur këndin ndërmjet dy faqeve të piramidave, në fillim duhet të gjejmë apotemat e të dyjave piramidave dhe ato gjenden nepërmjet teoremës së Pitagorës ⇒\rArr ap1=322+182=ap_1=32^2+18^2= 1024+324=13481024+324=1348 ⇒ap1=1348≈37\rArr ap_1=\sqrt{1348}\approx37 mm, ap2=482+182=ap_2=48^2+18^2= 2304+324=26282304+324=2628 ⇒ap2=2628≈\rArr ap_2=\sqrt{2628}\approx 5151 mm (brinja me vlerë 1818 është gjatësia e gjysmës së bazës së piramidave). Tani me bashkimin e lartësive midis dy piramidave dhe dy apotemave, kemi formuar një trekëndësh me brinjë anësore apotemat e piramidave dhe bashkimin e lartësive të dy piramidave si bazë të trekëndëshit. Këndi ndërmjet dy faqeve të piramidave gjendet nepërmjet teoremës së kosinusit dhe brinja përballë këndit që kërkohet është baza e trekëndëshit ⇒\rArr cos⁡x=\cos x= 372+512−8022×37×51=\dfrac{37^2+51^2-80^2}{2\times37\times51}= 1369+2601−64003774=−24303774=\dfrac{1369+2601-6400}{3774}=\dfrac{-2430}{3774}= −0.6438-0.6438 ⇒x≈130°\rArr x\approx130\degree.