Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa II

Zgjidhja e ushtrimit 1

Zgjidhja e ushtrimit 1 të mësimit 8.4Z në librin Matematika 10 - 11: Pjesa II nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

Në një kampionat futbolli, ekipet marrin 3 pikë për fitore, 1 për barazim dhe 0 pikë për humbje. Anila mendon se:

  • probabiliteti që ekipi i saj të fitojë ndeshjen është 0,6;
  • probabiliteti që ekipi i saj të barazojë ndeshjen është 0,3;
  • rezultatet e ndeshjeve janë të pavarura nga njëra-tjetra.
  1. Gjeni probabilitetin që ekipi i saj të ketë të paktën 3 pikë pas 2 ndeshjesh.
  2. Si e keni përdorur supozimin e Anilës që rezultatet e ndeshjeve janë të pavarura në përgjigjen e kërkesës a?
  3. A e mbështesni idenë e Anilës që rezultatet e ndeshjeve janë të pavarura? Argumentoni përgjigjen tuaj.

Dëshiron të mësosh me video?

Kliko këtu dhe bëj Subscribe në YouTube!

Zgjidhja

  1. Shënojmë:

    • $F$ = fitore (3 pikë)
    • $B$ = barazim (1 pikë)
    • $H$ = humbje (0 pikë)

    Probabilitetet e dhëna janë:

    $$P(F) = 0.6$$ $$P(B) = 0.3$$ $$P(H) = 1 - P(F) - P(B) = 1 - 0.6 - 0.3 = 0.1$$

    Ekipi ka të paktën 3 pikë pas 2 ndeshjesh në rastet e mëposhtme:

    • Fitojnë të dyja ndeshjet (F, F): $3 + 3 = 6$ pikë
    • Fitojnë njërën dhe barazojnë tjetrën (F, B) ose (B, F): $3 + 1 = 4$ pikë
    • Fitojnë njërën dhe humbasin tjetrën (F, H) ose (H, F): $3 + 0 = 3$ pikë

    Kalkulojmë probabilitetin për secilin skenar (duke përdorur pavarësinë):

    $$P(F, F) = P(F) \times P(F) = 0.6 \times 0.6 = 0.36$$ $$P(F, B) = P(F) \times P(B) = 0.6 \times 0.3 = 0.18$$ $$P(B, F) = P(B) \times P(F) = 0.3 \times 0.6 = 0.18$$ $$P(F, H) = P(F) \times P(H) = 0.6 \times 0.1 = 0.06$$ $$P(H, F) = P(H) \times P(F) = 0.1 \times 0.6 = 0.06$$

    Probabiliteti total është shuma e probabiliteteve të këtyre skenarëve:

    $$P(\text{të paktën 3 pikë}) = P(F, F) + P(F, B) + P(B, F) + P(F, H) + P(H, F)$$ $$P(\text{të paktën 3 pikë}) = 0.36 + 0.18 + 0.18 + 0.06 + 0.06$$ $$P(\text{të paktën 3 pikë}) = 0.84$$

  2. Supozimi i pavarësisë së rezultateve të ndeshjeve u përdor për të shumëzuar probabilitetet e rezultateve individuale të ndeshjeve. Për shembull, $P(F, F) = P(F) \times P(F)$ është i vlefshëm vetëm nëse ndeshjet janë të pavarura.

  3. Nuk e mbështes idenë e Anilës se rezultatet e ndeshjeve janë të pavarura. Në realitet, rezultatet e ndeshjeve mund të jenë të ndikuara nga faktorë si: forma e ekipit, lëndimet e lojtarëve, kundërshtari, morali, ndeshjet e mëparshme. Një fitore ose humbje në një ndeshje mund të ndikojë psikologjikisht ekipin, duke ndryshuar performancën dhe probabilitetet e rezultateve në ndeshjet e ardhshme.