Zgjidhja e ushtrimit 2
Zgjidhja e ushtrimit 2 të mësimit 8.5Z në librin Matematika 10 - 11: Pjesa II nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.
Pyetja
Një kompani sigurimesh i klasifikon shoferët në 3 kategori.
- P do të thotë "me rrezikshmëri të ulët" dhe këta janë 25% e shoferëve të siguruar.
- Q do të thotë "me rrezikshmëri mesatare" dhe këta janë 60% të shoferëve.
- R do të thotë "me rrezikshmëri të lartë".
Probabiliteti që një shofer i kategorisë P të ketë bërë një ose më shumë aksidente në një periudhë 12-mujore është 2%. Probabiliteti korrespondues për Q dhe R janë 6% dhe 10%.
- Gjeni probabilitetin që një shofer, i zgjedhur rastësisht, është i klasifikuar në kategorinë Q dhe ka bërë një ose më shumë aksidente në një vit.
- Gjeni probabilitetin që një shofer, i zgjedhur rastësisht, të ketë bërë një ose më shumë aksidente në një vit.
- Një shofer ka bërë një ose më shumë aksidente në një periudhë 12-mujore, sa është probabiliteti që ai të jetë i kategorisë Q?
Zgjidhja
Le të jenë:
- $P(P) = 0.25$
- $P(Q) = 0.60$
- $P(R) = 1 - 0.25 - 0.60 = 0.15$
- $P(A|P) = 0.02$ (Probabiliteti i aksidentit dhënë që shoferi është në kategorinë P)
- $P(A|Q) = 0.06$ (Probabiliteti i aksidentit dhënë që shoferi është në kategorinë Q)
- $P(A|R) = 0.10$ (Probabiliteti i aksidentit dhënë që shoferi është në kategorinë R)
1. Probabiliteti që një shofer të jetë në kategorinë Q dhe të ketë bërë aksident:
$P(Q \cap A) = P(A|Q) \cdot P(Q) = 0.06 \cdot 0.60 = 0.036$
2. Probabiliteti që një shofer i zgjedhur rastësisht të ketë bërë aksident:
$P(A) = P(A|P)P(P) + P(A|Q)P(Q) + P(A|R)P(R)$
$P(A) = (0.02)(0.25) + (0.06)(0.60) + (0.10)(0.15) = 0.005 + 0.036 + 0.015 = 0.056$
3. Probabiliteti që një shofer që ka bërë aksident të jetë në kategorinë Q:
$P(Q|A) = \frac{P(A|Q)P(Q)}{P(A)}$
$P(Q|A) = \frac{(0.06)(0.60)}{0.056} = \frac{0.036}{0.056} \approx 0.6429$