Zgjidhja e ushtrimit 12
Zgjidhja e ushtrimit 12 të mësimit 9.1Z në librin Matematika 10 - 11: Pjesa II nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.
Pyetja
Rovena thotë:
"Dy vargjet T() = 7 + 5 dhe S() = 54 - 6 nuk kanë asnjë kufizë të përbashkët, sepse, kur unë zgjidha ekuacionin T() = S(), gjeta = 4, i cili nuk është numër i plotë."
Argumentoni pse Rovena e ka gabim.
Zgjidhja
Rovena gabon në supozimin se një kufizë e përbashkët duhet të ndodhë në të njëjtin pozicion $n$ në të dy vargjet. Një kufizë e përbashkët do të thotë se ekziston një vlerë që shfaqet në të dy vargjet, e cila mund të korrespondojë me pozicione të ndryshme (indekse) $n_T$ dhe $n_S$ në çdo varg.
Për të gjetur nëse ekziston një kufizë e përbashkët, duhet të zgjidhim ekuacionin $T(n_T) = S(n_S)$ për numra të plotë pozitivë $n_T$ dhe $n_S$.
Ekuacioni është:
$$7 + 5n_T = 54 - 6n_S$$Zhvendosim termat për të mbledhur $n_T$ dhe $n_S$ në një anë:
$$5n_T + 6n_S = 54 - 7$$$$5n_T + 6n_S = 47$$Tani kërkojmë numra të plotë pozitivë $n_T$ dhe $n_S$ që plotësojnë këtë ekuacion. Le të provojmë vlera për $n_S$ duke filluar nga $n_S = 1$ (pasi $n$ duhet të jetë një numër i plotë pozitiv si indeks i vargut):
- Nëse $n_S = 1$: $$5n_T + 6(1) = 47$$ $$5n_T = 41$$ $$n_T = \frac{41}{5} = 8.2$$ Ky nuk është një numër i plotë.
- Nëse $n_S = 2$: $$5n_T + 6(2) = 47$$ $$5n_T + 12 = 47$$ $$5n_T = 35$$ $$n_T = 7$$ Ky është një numër i plotë dhe pozitiv.
Kemi gjetur një zgjidhje: $n_T = 7$ dhe $n_S = 2$.
Tani gjejmë vlerën e kufizës së përbashkët duke përdorur këto indekse:
- Për vargun $T(n)$: $$T(7) = 7 + 5(7) = 7 + 35 = 42$$
- Për vargun $S(n)$: $$S(2) = 54 - 6(2) = 54 - 12 = 42$$
Meqenëse $T(7) = S(2) = 42$, ekziston një kufizë e përbashkët (numri 42) midis dy vargjeve. Kjo vlerë është kufiza e 7-të e vargut $T$ dhe kufiza e 2-të e vargut $S$. Prandaj, pretendimi i Rovenës është i gabuar.