Zgjidhja e ushtrimit 9
Zgjidhja e ushtrimit 9 të mësimit Përsëritje për krerët 7-10 në librin Matematika 10 - 11: Pjesa II nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.
Pyetja
Në figurë është paraqitur një model trekëndëshash të zinj dhe të bardhë.
a) Kopjoni dhe plotësoni tabelën.
b) Formula për numrin e trekëndëshave të bardhë është: . Gjeni numrin e trekëndëshave të bardhë në modelin me: i) 50 rreshta; ii) 100 rreshta.
c) Gjeni formulën për numrin e trekëndëshave në një model me rreshta.
d) Përdoreni këtë formulë dhe atë të dhënë në kërkesën c për të gjetur një formulë për numrin e katrorëve të zinj në çdo rresht. Përfundimin jepeni në trajtën e thjeshtë.
e) Provoni formulën tuaj duke gjetur numrin e trekëndëshave të zinj për modelin me 2 rreshta.
f) Përdoreni formulën tuaj për të gjetur numrin e trekëndëshave të zinj në modelin me 60 rreshta.
Zgjidhja
a) Tabela e plotësuar:
| Rreshtat | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Trekëndëshat e bardhë | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 |
| Trekëndëshat e zinj | 0 | 1 | 3 | 6 | 10 |
| Numri i përgjithshëm i trekëndëshave | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
b) Formula për numrin e trekëndëshave të bardhë është: $n = \frac{r(r+1)}{2}$.
i) Për $r = 50$ rreshta:
$$n = \frac{50(50+1)}{2} = \frac{50 \times 51}{2} = 25 \times 51 = 1275$$Numri i trekëndëshave të bardhë është 1275.
ii) Për $r = 100$ rreshta:
$$n = \frac{100(100+1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$$Numri i trekëndëshave të bardhë është 5050.
c) Nga tabela, numri i përgjithshëm i trekëndëshave është $r^2$.
d) Le të jetë $T_b$ numri i trekëndëshave të bardhë, $T_z$ numri i trekëndëshave të zinj, dhe $T_p$ numri i përgjithshëm i trekëndëshave.
Ne dimë se $T_p = T_b + T_z$.
Nga kërkesa b), $T_b = \frac{r(r+1)}{2}$.
Nga kërkesa c), $T_p = r^2$.
Për të gjetur $T_z$, zbresim $T_b$ nga $T_p$:
$$T_z = T_p - T_b$$ $$T_z = r^2 - \frac{r(r+1)}{2}$$ $$T_z = \frac{2r^2 - r(r+1)}{2}$$ $$T_z = \frac{2r^2 - r^2 - r}{2}$$ $$T_z = \frac{r^2 - r}{2}$$ $$T_z = \frac{r(r-1)}{2}$$Formula për numrin e trekëndëshave të zinj është $T_z = \frac{r(r-1)}{2}$.
e) Për $r=2$ rreshta, sipas formulës:
$$T_z = \frac{2(2-1)}{2} = \frac{2 \times 1}{2} = 1$$Kjo përputhet me tabelën.
f) Për $r=60$ rreshta:
$$T_z = \frac{60(60-1)}{2} = \frac{60 \times 59}{2} = 30 \times 59 = 1770$$Numri i trekëndëshave të zinj në modelin me 60 rreshta është 1770.