Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa II

Zgjidhja e ushtrimit 11

Zgjidhja e ushtrimit 11 të mësimit Vlerësim 3 në librin Matematika 10 - 11: Pjesa II nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

Klepsidra, ose ora e ujit, u shpik në shekullin e 14 p.e.r. Ora kishte formën e paraqitur në figurë dhe në kulm kishte një vrimë. Uji rrjedh ngadalë nga vrima dhe koha matet sipas nivelit të ujit të mbetur në enë.

Ora prej uji është mbushur në mesnatë dhe uji rrjedh prej saj me shpejtësi prej 3 ml/min. Gjeni:

  1. vëllimin e të gjithë konit, të rrumbullakosur në milimetrin kubik më të afërt
  2. kohën që duhet për zbrazjen e të gjithë enës, të rrumbullakosur në minutën më të afërt
  3. rrezen e sipërfaqes së ujit, kur lartësia e tij është 15 cm
  4. vëllimin e ujit, kur lartësia e tij është 15 cm
  5. vëllimin e ujit që ka rrjedhur derisa ai arrin lartësinë 15 cm
  6. orën kur uji është në lartësinë 15 cm
  7. Në anë të klepsidrës ishin shënuar disa ndarje me largesë të njëjtë, të cilat kishin për qëllim të tregonin orët. Shpjegoni pse kjo mënyrë nuk është e saktë dhe sugjeroni një formë më të përshtatshme për t'u përdorur si klepsidër.

Dëshiron të blesh libra manga?

Kliko këtu për të parë ofertat e Kleptobuk

Zgjidhja

  1. Nga koni në figurë kemi rrezen r=5r=5 cm dhe lartësinë h=25h=25 cm. Vëllimin e konit e gjejmë me formulën V=πr2h3V=\dfrac{\pi r^2 h}{3} == π×52×253\dfrac{\pi \times 5^2 \times 25}{3} == 625π3\dfrac{625\pi}{3} ≈\approx 654654 cm3, ose, e kthyer në litra (1 l = 1000 cm3), do ishte 0.6540.654 l, apo 654654 ml.
  2. Nëse në çdo minutë zbrazen 3 ml nga klepsidra, atëherë e gjithë ena do zbrazej për 654÷3=218654 \div 3 = 218 minuta, apo 3 orë dhe 38 minuta.
  3. Këtu mund të shfrytëzojmë konat e ngjashëm, pasi koni i plotë me rreze 5 cm dhe gjatësi 25 cm do ishte i ngjashëm me konin e zvogëluar në 15 cm dhe rreze që nuk e dimë (meqë koni i vogël është pjesë e konit të madh). Raporti i brinjëve homologe është i barabartë midis dy trupave të ngjashëm, që do të thotë se do kishim 1525=r25\dfrac{15}{25} = \dfrac{r_2}{5} ⇒\rArr r2=15×525r_2 = \dfrac{15 \times 5}{25} == 33 cm. Kaq do jetë rrezja e sipërfaqes së ujit kur lartësia është 15 cm.
  4. Meqë dimë lartësinë e konit (që mban ujin) dhe rrezen që gjetëm në nënkërkesën c, atëherë vëllimi i ujit do ishte V=πr2h3V=\dfrac{\pi r^2 h}{3} == π×32×153\dfrac{\pi \times 3^2 \times 15}{3} == 45π45\pi ≈\approx 141141 cm3 (apo 141 ml).
  5. Nga vëllimi në total që gjetëm në nënkërkesën a, zbresim vëllimin kur uji e ka lartësinë 15 cm, dhe do kishim V=654−141=513V=654-141=513 ml ujë kanë rrjedhur.
  6. Kur uji është në lartësinë 15 cm e ka vëllimin 141 ml, pra thamë në nënkërkesën më lart se 513 ml ujë kanë rrjedhur në atë pikë. Meqë dimë se për çdo minutë rrjedhim 3 ml ujë, atëherë në këtë pikë do kenë kaluar 513÷3=171513 \div 3 = 171 minuta, apo 2 orë e 51 minuta. Klepsidra u mbush plotë në mesnatë, që do të thotë se ora në këtë pikë është 02:51.
  7. Një formë më e përshtatshme për klepsidrën do ishte cilindri, pasi prerja tërthore e konit sa vjen e zvogëlohet derisa arrij majën, duke e ulur nivelin e ujit sa vjen e më shpejt. Cilindri nga ana tjetër e ka prerjen tërthore të njëjtë nga fillimi deri në fund, dhe lartësia e ujit brenda do ulej me të njëjtën shpejtësi.