Kopertina e librit Matematika 10 - 11: Pjesa II

Zgjidhja e ushtrimit 9

Zgjidhja e ushtrimit 9 të mësimit Vlerësim 6 në librin Matematika 10 - 11: Pjesa II nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Steve Fearnley, June Haighton, Steve Lomax, Peter Mullarkey, James Nicholson dhe Matt Nixon.

Pyetja

Në liqenin e ri të një rezervati natyror u hodhën 250 peshq. Pronarët parashikuan se popullimi pp i peshqve, do të rritet me 12% në vit.

  1. Llogaritni popullimin e liqenit pas 1, 2, 3 dhe 4 vitesh.
  2. Shpjegoni pse popullimi në liqen pas nn vitesh është 250 ×\times  1,12n^n.
  3. Ndërtoni grafikun e funksionit pp = 250 ×\times 1,12n^n për 10 vitet e para.
  4. Gjeni numrin e viteve përpara se mesatarja e popullimit në liqen të rritet: i) dy herë; ii) tri herë.
  5. Gjeni shpejtësinë e ndryshimit të popullimit pas 5 vitesh.
  6. Nëse pas 5 vittesh, popullimi në liqen rritet me një shpejtësi të njëtrajtshme, si do të jetë popullimi në të pas 10 vitesh?

Dëshiron të mësosh me video?

Kliko këtu dhe bëj Subscribe në YouTube!

Zgjidhja

  1. Pas 1 viti: $250 \times 1.12^1 = 280$

    Pas 2 vitesh: $250 \times 1.12^2 = 313.6 \approx 314$

    Pas 3 vitesh: $250 \times 1.12^3 = 351.232 \approx 351$

    Pas 4 vitesh: $250 \times 1.12^4 = 393.37984 \approx 393$

  2. Popullimi rritet me 12% çdo vit, pra shumohet me 1.12. Pas $n$ vitesh, rritja shumëzohet $n$ herë, prandaj $250 \times 1.12^n$.

  3. Grafiku do të jetë një lakore eksponenciale që fillon nga 250 dhe rritet. Vlerat e llogaritura në hapin 1 mund të përdoren për të ndërtuar grafikun.

  4. i) Dy herë: $250 \times 2 = 500$. Duhet të zgjidhim ekuacionin $500 = 250 \times 1.12^n$, që thjeshtohet në $2 = 1.12^n$. Duke përdorur logaritmet, $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.12} \approx 6.12$ vite.

    ii) Tri herë: $250 \times 3 = 750$. Duhet të zgjidhim ekuacionin $750 = 250 \times 1.12^n$, që thjeshtohet në $3 = 1.12^n$. Duke përdorur logaritmet, $n = \frac{\ln 3}{\ln 1.12} \approx 9.69$ vite.

  5. Popullimi pas 5 vitesh: $250 \times 1.12^5 \approx 440.44$.

    Popullimi pas 6 vitesh: $250 \times 1.12^6 \approx 493.29$.

    Shpejtësia e ndryshimit pas 5 vitesh: $493.29 - 440.44 = 52.85$ peshq/vit.

  6. Popullimi pas 5 vitesh: $250 \times 1.12^5 \approx 440.44$

    Rritja e popullimit pas 5 vitesh është afërsisht 52.85 peshq në vit.

    Popullimi pas 10 vitesh do të ishte: $440.44 + 5 \times 52.85 = 704.69 \approx 705$ peshq.