Zgjidhja e ushtrimit 14

Kalkulimi i funksionit të përbërë:

$$y = g(f(x))$$ Meqenëse $f(x) = -x$, zëvendësojmë këtë në $g(x)$. $$y = g(-x)$$ Meqenëse $g(x) = x^2$, kemi: $$y = (-x)^2 = x^2$$ Pra, funksioni i përbërë është $y = x^2$.

Bashkësia e përcaktimit:

Bashkësia e përcaktimit e $f(x)$ është $D_f = \R$. Bashkësia e përcaktimit e $g(x)$ është $D_g = \R$. Për funksionin e përbërë $g(f(x))$ të jetë i përcaktuar, $f(x)$ duhet të jetë në bashkësinë e përcaktimit të $g$. $$f(x) \in D_g \Rightarrow -x \in \R$$ Kjo është e vërtetë për të gjitha vlerat e $x \in \R$. Pra, bashkësia e përcaktimit e funksionit të përbërë është $D_{g \circ f} = \R$.

Grafiku:

Grafiku i funksionit $y = x^2$ është një parabolë me kulm në origjinë $(0,0)$ që hapet lart. Ajo është simetrike në lidhje me boshtin $y$.

Kalkulimi i funksionit të përbërë:

$$y = g(f(x))$$ Meqenëse $f(x) = x^2$, zëvendësojmë këtë në $g(x)$. $$y = g(x^2)$$ Meqenëse $g(x) = x^{\frac{3}{2}}$, kemi: $$y = (x^2)^{\frac{3}{2}}$$ Duke përdorur vetinë e fuqive $(a^m)^n = a^{mn}$: $$y = x^{2 \cdot \frac{3}{2}} = x^3$$ Pra, funksioni i përbërë është $y = x^3$.

Bashkësia e përcaktimit:

Bashkësia e përcaktimit e $f(x)$ është $D_f = \R$. Bashkësia e përcaktimit e $g(x)$ është $D_g = \R^+$ (numrat realë pozitivë). Për $x^{\frac{3}{2}}$ të jetë i përcaktuar në $\R^+$, kjo do të thotë $x > 0$. Për funksionin e përbërë $g(f(x))$ të jetë i përcaktuar, $f(x)$ duhet të jetë në bashkësinë e përcaktimit të $g$. $$f(x) \in D_g \Rightarrow x^2 > 0$$ Kjo kërkon që $x$ të mos jetë zero. Pra, $x \ne 0$. Bashkësia e përcaktimit e funksionit të përbërë është $D_{g \circ f} = \R \setminus \{0\}$.

Grafiku:

Grafiku i funksionit $y = x^3$ është një funksion kubik, i cili kalon nëpër origjinë $(0,0)$. Megjithatë, për shkak të bashkësisë së përcaktimit $D_{g \circ f} = \R \setminus \{0\}$, pika $(0,0)$ nuk është pjesë e grafikut. Prandaj, grafiku është i njëjtë me atë të $y=x^3$ por me një "vrimë" (pikë të papërcaktuar) në origjinë.