Zgjidhja e ushtrimit 4

Për funksionin $f(x) = 2x^2$, $x \in \mathbb{R}$:

Ky funksion është joinjektiv (shumë në një).

Argumenti: Për funksionet $f(x) = ax^2$, ku $a \neq 0$, funksioni merr të njëjtën vlerë për $x$ dhe $-x$. Për shembull, $f(1) = 2(1)^2 = 2$ dhe $f(-1) = 2(-1)^2 = 2$. Meqenëse $1 \neq -1$ por $f(1) = f(-1)$, funksioni nuk është njëpër-një. Kjo vlen për çdo çift $x_1 \neq x_2$ ku $x_1 = -x_2$.

Për funksionin $f(x) = 3^{-x}$, $x \in \mathbb{R}$:

Ky funksion është bijektiv (një për një).

Argumenti: Funksioni eksponencial $f(x) = a^x$ (ose $a^{-x}$) me $a > 0$ dhe $a \neq 1$ është gjithmonë njëpër-një. Nëse $f(x_1) = f(x_2)$, atëherë $3^{-x_1} = 3^{-x_2}$. Kjo implikon $-x_1 = -x_2$, e cila do të thotë $x_1 = x_2$. Kështu, funksioni është njëpër-një.

Për funksionin $f(x) = x^4$, $x \in \mathbb{R}$:

Ky funksion është joinjektiv (shumë në një).

Argumenti: Ngjashëm me funksionin $x^2$, funksioni $x^4$ merr të njëjtën vlerë për $x$ dhe $-x$. Për shembull, $f(1) = (1)^4 = 1$ dhe $f(-1) = (-1)^4 = 1$. Meqenëse $1 \neq -1$ por $f(1) = f(-1)$, funksioni nuk është njëpër-një.

Për funksionin $f(x) = -3x^3$, $x \in \mathbb{R}$:

Ky funksion është bijektiv (një për një).

Argumenti: Për funksionet e fuqisë me eksponent tek $f(x) = ax^n$ ku $n$ është tek, këta funksione janë njëpër-një. Nëse $f(x_1) = f(x_2)$, atëherë $-3x_1^3 = -3x_2^3$. Kjo implikon $x_1^3 = x_2^3$, e cila do të thotë $x_1 = x_2$ (pasi funksioni i rrënjës kubike është njëpër-një mbi $\mathbb{R}$). Kështu, funksioni është njëpër-një.

Për funksionin $f(x) = \frac{1}{x-3}$, $x \in \mathbb{R}$, $x \neq 3$:

Ky funksion është bijektiv (një për një).

Argumenti: Supozojmë $f(x_1) = f(x_2)$. Atëherë $\frac{1}{x_1-3} = \frac{1}{x_2-3}$. Kjo implikon $x_1-3 = x_2-3$, e cila çon në $x_1 = x_2$. Pra, funksioni është njëpër-një.

Për funksionin $f(x) = \cos x$, $0^\circ \le x \le 360^\circ$:

Ky funksion është joinjektiv (shumë në një).

Argumenti: Funksioni kosinus është periodik. Për shembull, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ dhe $\cos(300^\circ) = \frac{1}{2}$. Meqenëse $60^\circ \neq 300^\circ$ por $f(60^\circ) = f(300^\circ)$, funksioni nuk është njëpër-një në këtë interval.

Për funksionin $f(x) = \cos x$, $0^\circ \le x \le 180^\circ$:

Ky funksion është bijektiv (një për një).

Argumenti: Në intervalin $0^\circ \le x \le 180^\circ$, funksioni kosinus është monotonisht zvogëlues. Kjo do të thotë se për $x_1 \neq x_2$ në këtë interval, $f(x_1) \neq f(x_2)$. Për shembull, nëse $x_1 < x_2$, atëherë $\cos(x_1) > \cos(x_2)$. Kështu, funksioni është njëpër-një.