Zgjidhja e ushtrimit 3
Zgjidhja e ushtrimit 3 të mësimit 1.1B në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.
Pyetja
Forma e çatisë së një galerie arti jepet nga ekuacioni ku është lartësia nga dyshemeja dhe është largësia horizontale në metra.
- Ndërtoni grafikun e këtij funksioni.
- Shkruani bashkësinë e përcaktimit dhe bashkësinë e vlerave të këtij funksioni.
- Sa është lartësia e kulmit të çatisë nga dyshemeja?
- Sa është gjatësia e brinjës së dyshemesë katrore mbi të cilën qëndron çatia?
Zgjidhja
Zgjidhje:
Për të ndërtuar grafikun e funksionit $f(x) = \frac{-4}{3}|x-16.5|+22$, identifikojmë karakteristikën e tij si një funksion i vlerës absolute me formën $y = a|x-h|+k$.
- Vlera e $a = -\frac{4}{3}$ tregon që grafiku hapet poshtë dhe pjerrësia e brinjëve është $-\frac{4}{3}$ dhe $\frac{4}{3}$.
- Pika e kulmit (vertikale) jepet nga $(h, k)$, e cila në këtë rast është $(16.5, 22)$.
- Për të gjetur pikëprerjet me boshtin e $x$-ve, vendosim $f(x) = 0$:$$0 = \frac{-4}{3}|x-16.5|+22$$$$\frac{4}{3}|x-16.5|=22$$$$|x-16.5|=\frac{22 \cdot 3}{4}$$$$|x-16.5|=\frac{66}{4}$$$$|x-16.5|=16.5$$Kjo jep dy mundësi:$$x-16.5 = 16.5 \Rightarrow x = 33$$$$x-16.5 = -16.5 \Rightarrow x = 0$$Pra, pikëprerjet me boshtin e $x$-ve janë $(0, 0)$ dhe $(33, 0)$.
Grafiku është një formë "V" e kthyer poshtë, me kulm në $(16.5, 22)$ dhe duke kaluar nëpër pikat $(0,0)$ dhe $(33,0)$.
Vizato boshtet koordinative. Shëno pikën e kulmit $(16.5, 22)$. Shëno pikëprerjet me boshtin e x-ve, $(0,0)$ dhe $(33,0)$. Lidh këto pika me segmente drejtëzash për të formuar grafikun.
Bashkësia e përcaktimit (domain) e funksionit është të gjitha vlerat e $x$-it për të cilat funksioni është i përcaktuar. Meqenëse $f(x)$ modelon formën e çatisë, $x$ përfaqëson largësinë horizontale dhe duhet të jetë brenda zonës së çatisë. Nga pikëprerjet me boshtin e $x$-ve, shohim se $x$ varion nga $0$ deri në $33$.
Bashkësia e përcaktimit: $[0, 33]$.
Bashkësia e vlerave (range) e funksionit është të gjitha vlerat e $f(x)$ që funksioni mund të marrë. Meqenëse kulmi është pika më e lartë dhe grafiku hapet poshtë, vlera maksimale e $f(x)$ është lartësia e kulmit, $22$. Vlera minimale është $0$, në pikëprerjet me boshtin e $x$-ve (që përfaqëson dyshemenë).
Bashkësia e vlerave: $[0, 22]$.
Lartësia e kulmit të çatisë është vlera maksimale e funksionit $f(x)$, e cila është $k$ nga forma $y = a|x-h|+k$.
Nga ekuacioni $f(x) = \frac{-4}{3}|x-16.5|+22$, lartësia e kulmit është $22$ metra.
Gjatësia e brinjës së dyshemesë katrore mbi të cilën qëndron çatia përfaqësohet nga largësia midis pikëprerjeve me boshtin e $x$-ve.
Pikëprerjet me boshtin e $x$-ve janë $x=0$ dhe $x=33$.
Gjatësia e brinjës $= 33 - 0 = 33$ metra.