Zgjidhja e ushtrimit 9

Për të ndërtuar grafikun e $y = |f(x)|$, duhet të zbatojmë vlerën absolute mbi funksionin $f(x) = 4 - x$.

Fillimisht, ndërtojmë grafikun e $f(x) = 4 - x$:

• Pika e prerjes me boshtin $y$ (ku $x=0$): $f(0) = 4 - 0 = 4$. Pra, pika $(0, 4)$.
• Pika e prerjes me boshtin $x$ (ku $y=0$): $0 = 4 - x \implies x = 4$. Pra, pika $(4, 0)$.

Grafiku i $f(x) = 4 - x$ është një vijë e drejtë që kalon nëpër këto pika.

Tani, ndërtojmë grafikun e $y = |f(x)| = |4 - x|$. Për këtë:

• Pjesa e grafikut të $f(x)$ që është mbi boshtin $x$ (pra $f(x) \ge 0$) mbetet e pandryshuar. Kjo ndodh kur $4 - x \ge 0 \implies x \le 4$.
• Pjesa e grafikut të $f(x)$ që është poshtë boshtit $x$ (pra $f(x) < 0$) reflektohet mbi boshtin $x$. Kjo ndodh kur $4 - x < 0 \implies x > 4$. Për këto vlera, $y = -(4 - x) = x - 4$.

Klara ka bërë gabim në ndërtimin e grafikut. Grafiku i saj duket se është $y = |4 + x|$, jo $y = |4 - x|$. Pika ku grafiku prek boshtin $x$ duhet të jetë $(4, 0)$, por në grafikun e Klara ajo është $(-4, 0)$.

Tani, zgjidhim ekuacionin $|f(x)| = \frac{1}{2}x$, ose $|4 - x| = \frac{1}{2}x$.

Vërejmë se ana e djathtë $\frac{1}{2}x$ duhet të jetë pozitive ose zero, pasi ana e majtë (vlera absolute) është gjithmonë $\ge 0$. Kjo do të thotë se $x \ge 0$.

Klara ka shkruar $|f(x)| = 4+x$ dhe më pas ka zgjidhur $4+x = \frac{1}{2}x$. Ky është një gabim. Funksioni i dhënë ishte $f(x) = 4-x$, prandaj $|f(x)| = |4-x|$.

Le të zgjidhim ekuacionin e saktë:

$$|4 - x| = \frac{1}{2}x$$

Kemi dy raste:

1. Rasti 1: $4 - x \ge 0 \implies x \le 4$.

   $$4 - x = \frac{1}{2}x$$ $$4 = x + \frac{1}{2}x$$ $$4 = \frac{3}{2}x$$ $$x = 4 \times \frac{2}{3}$$ $$x = \frac{8}{3}$$

   Kontrollojmë kushtin: $\frac{8}{3} \approx 2.67$, i cili plotëson $x \le 4$. Pra, $x = \frac{8}{3}$ është një zgjidhje.

2. Rasti 2: $4 - x < 0 \implies x > 4$.

   $$-(4 - x) = \frac{1}{2}x$$ $$-4 + x = \frac{1}{2}x$$ $$x - \frac{1}{2}x = 4$$ $$\frac{1}{2}x = 4$$ $$x = 8$$

   Kontrollojmë kushtin: $8 > 4$. Dhe kontrollojmë kushtin e përgjithshëm ($x \ge 0$): $8 \ge 0$. Pra, $x = 8$ është një zgjidhje.

Zgjidhjet e ekuacionit $|f(x)| = \frac{1}{2}x$ janë $x = \frac{8}{3}$ dhe $x = 8$.

Klara zgjodhi gabimisht $4+x = \frac{1}{2}x$, duke çuar në:

$$\frac{1}{2}x = -4$$ $$x = -8$$

Kjo zgjidhje është e gabuar sepse ajo ka përdorur funksionin $|4+x|$ në vend të $|4-x|$, dhe gjithashtu zgjidhja $x=-8$ nuk do të ishte e vlefshme për $|f(x)| = \frac{1}{2}x$, sepse $\frac{1}{2}x$ duhet të jetë pozitiv ($x \ge 0$).