Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 12

Zgjidhja e ushtrimit 12 të mësimit 1.3B në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

  1. Vërtetoni që, në qoftë se dy polinome ff(xx) dhe gg(xx) kanë një faktor linear (xx - aa) të përbashkët, atëherë (xx - aa) është faktor dhe i polinomit ff(xx) - gg(xx).
  2. Përdorni rezultatin e kërkesës (a) për të vërtetuar që, në qoftë se anët e majta në ekuacionet kxkx3 + 3xx2 + xx + 4 = 0 dhe kxkx3 + 2xx2 + 9xx - 8 = 0 kanë një faktor linear të përbashkët, atëherë kk = −94-\frac{9}{4} ose −59108-\frac{59}{108}.

Dëshiron të blesh libra manga?

Kliko këtu për të parë ofertat e Kleptobuk

Zgjidhja

  1. Le të jenë $f(x)$ dhe $g(x)$ dy polinome. Sipas Teoremës së Faktorit, në qoftë se $(x - a)$ është një faktor i $f(x)$, atëherë $f(a) = 0$. Ngjashëm, në qoftë se $(x - a)$ është një faktor i $g(x)$, atëherë $g(a) = 0$.

    Kemi polinomët $f(x)$ dhe $g(x)$ që kanë një faktor linear të përbashkët $(x - a)$. Kjo do të thotë që:

    $$f(a) = 0$$ $$g(a) = 0$$

    Tani, le të shqyrtojmë polinomin $P(x) = f(x) - g(x)$. Ne duhet të provojmë që $(x - a)$ është një faktor i $P(x)$, që do të thotë se $P(a) = 0$.

    Zëvendësojmë $x = a$ në $P(x)$:

    $$P(a) = f(a) - g(a)$$

    Meqenëse $f(a) = 0$ dhe $g(a) = 0$, kemi:

    $$P(a) = 0 - 0$$ $$P(a) = 0$$

    Meqenëse $P(a) = 0$, sipas Teoremës së Faktorit, $(x - a)$ është një faktor i polinomit $P(x) = f(x) - g(x)$. Kjo e vërteton kërkesën.

  2. Le të jenë polinomet:

    $$f(x) = kx^3 + 3x^2 + x + 4$$ $$g(x) = kx^3 + 2x^2 + 9x - 8$$

    Sipas kërkesës (a), në qoftë se $f(x)$ dhe $g(x)$ kanë një faktor linear të përbashkët $(x - a)$, atëherë $(x - a)$ është faktor edhe i $f(x) - g(x)$.

    Llogarisim diferencën $f(x) - g(x)$:

    $$f(x) - g(x) = (kx^3 + 3x^2 + x + 4) - (kx^3 + 2x^2 + 9x - 8)$$ $$f(x) - g(x) = kx^3 + 3x^2 + x + 4 - kx^3 - 2x^2 - 9x + 8$$ $$f(x) - g(x) = (kx^3 - kx^3) + (3x^2 - 2x^2) + (x - 9x) + (4 + 8)$$ $$f(x) - g(x) = x^2 - 8x + 12$$

    Meqenëse $(x - a)$ është një faktor i $f(x) - g(x)$, atëherë $a$ është një rrënjë e ekuacionit $x^2 - 8x + 12 = 0$.

    Faktorizojmë ekuacionin kuadratik:

    $$x^2 - 8x + 12 = 0$$ $$(x - 2)(x - 6) = 0$$

    Rrënjët janë $x = 2$ ose $x = 6$. Kështu, vlera e $a$ mund të jetë $2$ ose $6$.

    Rasti 1: Faktori i përbashkët është $(x - 2)$.

    Në këtë rast, $a = 2$. Meqenëse $(x - 2)$ është faktor i $f(x)$, atëherë $f(2) = 0$.

    $$f(2) = k(2)^3 + 3(2)^2 + (2) + 4 = 0$$ $$8k + 3(4) + 2 + 4 = 0$$ $$8k + 12 + 6 = 0$$ $$8k + 18 = 0$$ $$8k = -18$$ $$k = -\frac{18}{8}$$ $$k = -\frac{9}{4}$$

    Rasti 2: Faktori i përbashkët është $(x - 6)$.

    Në këtë rast, $a = 6$. Meqenëse $(x - 6)$ është faktor i $f(x)$, atëherë $f(6) = 0$.

    $$f(6) = k(6)^3 + 3(6)^2 + (6) + 4 = 0$$ $$216k + 3(36) + 6 + 4 = 0$$ $$216k + 108 + 10 = 0$$ $$216k + 118 = 0$$ $$216k = -118$$ $$k = -\frac{118}{216}$$

    Thjeshtojmë thyesën duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin me 2:

    $$k = -\frac{59}{108}$$

    Pra, vlerat e mundshme të $k$ janë $k = -\frac{9}{4}$ ose $k = -\frac{59}{108}$.