Zgjidhja e ushtrimit 8

a) Për të treguar që $ (5x + 2) $ është faktor i $ (30x^3 + 7x^2 - 12x - 4) $, mund të përdorim pjesëtimin e gjatë të polinomeve ose teoremën e mbetjes. Me anë të pjesëtimit të gjatë:

$$ \begin{array}{c|cc cc} \multicolumn{2}{r}{6x^2} & -x & -2 \\ \cline{2-5} 5x+2 & 30x^3 & +7x^2 & -12x & -4 \\ \multicolumn{2}{r}{30x^3} & +12x^2 \\ \cline{2-3} \multicolumn{2}{r}{0} & -5x^2 & -12x \\ \multicolumn{2}{r}{} & -5x^2 & -2x \\ \cline{3-4} \multicolumn{2}{r}{} & 0 & -10x & -4 \\ \multicolumn{2}{r}{} & & -10x & -4 \\ \cline{4-5} \multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\ \end{array} $$

Meqenëse mbetja është 0, $ (5x + 2) $ është faktor i $ (30x^3 + 7x^2 - 12x - 4) $. Kështu, $ 30x^3 + 7x^2 - 12x - 4 = (5x + 2)(6x^2 - x - 2) $.

b) Thjeshtojmë shprehjen:

$$ \frac{30x^3+7x^2-12x-4}{2x^2-x} \cdot \frac{2x^2-9x+4}{2x^2-7x-4} $$

Faktorizojmë çdo term:

• $ 30x^3+7x^2-12x-4 = (5x+2)(6x^2-x-2) = (5x+2)(2x+1)(3x-2) $
• $ 2x^2-x = x(2x-1) $
• $ 2x^2-9x+4 = (2x-1)(x-4) $
• $ 2x^2-7x-4 = (2x+1)(x-4) $

Zëvendësojmë faktorët në shprehje:

$$ \frac{(5x+2)(2x+1)(3x-2)}{x(2x-1)} \cdot \frac{(2x-1)(x-4)}{(2x+1)(x-4)} $$

Anulojmë termat e përbashkët:

$$ \frac{(5x+2)\cancel{(2x+1)}(3x-2)}{x\cancel{(2x-1)}} \cdot \frac{\cancel{(2x-1)}\cancel{(x-4)}}{\cancel{(2x+1)}\cancel{(x-4)}} $$ $$ = \frac{(5x+2)(3x-2)}{x} = \frac{15x^2 - 10x + 6x - 4}{x} = \frac{15x^2 - 4x - 4}{x} = 15x - 4 - \frac{4}{x} $$

Shprehja e thjeshtuar është $ 15x - 4 - \frac{4}{x} $.

c)

1. Gjeni bashkësinë e përcaktimit dhe bashkësinë e vlerave për funksionin $ y = \frac{30x^3+7x^2-12x-4}{2x^2-x} \cdot \frac{2x^2-9x+4}{2x^2-7x-4} $.

Bashkësia e përcaktimit (D): Vlerat e $ x $ për të cilat emëruesit nuk janë zero.

• $ 2x^2-x \neq 0 \implies x(2x-1) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq \frac{1}{2} $
• $ 2x^2-7x-4 \neq 0 \implies (2x+1)(x-4) \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}, x \neq 4 $

Pra, bashkësia e përcaktimit është $ D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq -\frac{1}{2}, x \neq 0, x \neq \frac{1}{2}, x \neq 4\} $.

Bashkësia e vlerave (R): Funksioni i thjeshtuar është $ y = 15x - 4 - \frac{4}{x} $.

Për $ x = -\frac{1}{2} $: $ y = 15(-\frac{1}{2}) - 4 - \frac{4}{-\frac{1}{2}} = -\frac{15}{2} - 4 + 8 = -\frac{15}{2} + 4 = -\frac{15}{2} + \frac{8}{2} = -\frac{7}{2} $.

Për $ x = 0 $: Funksioni nuk është i përcaktuar.

Për $ x = \frac{1}{2} $: $ y = 15(\frac{1}{2}) - 4 - \frac{4}{\frac{1}{2}} = \frac{15}{2} - 4 - 8 = \frac{15}{2} - 12 = \frac{15}{2} - \frac{24}{2} = -\frac{9}{2} $.

Për $ x = 4 $: $ y = 15(4) - 4 - \frac{4}{4} = 60 - 4 - 1 = 55 $.

Funksioni $ y = 15x - 4 - \frac{4}{x} $ është një funksion racional. Për të gjetur bashkësinë e vlerave, ne shqyrtojmë limitet kur $ x \to \pm\infty $ dhe studjojmë derivatin e parë.

Limitet: Kur $ x \to \pm\infty $, $ y \to \pm\infty $.

Derivati: $ y' = 15 + \frac{4}{x^2} $.

Meqënëse $ y' = 15 + \frac{4}{x^2} > 0 $ për të gjitha $ x \in D $, funksioni është gjithmonë rritës. Vlerat e hequra nga bashkësia e përcaktimit shkaktojnë "vrima" ose diskontinuitete në grafik. Kështu, bashkësia e vlerave është $ R = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{7}{2}, -\frac{9}{2}, 55\} $ (këto janë vlerat e $ y $ për $ x = -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 4 $). Vlerat $ y $ që nuk arrihen janë ato në "vrima" të grafikut, pra $y \neq -\frac{7}{2}, y \neq -\frac{9}{2}, y \neq 55$. Bashkësia e vlerave është $ \mathbb{R} \setminus \{-\frac{9}{2}, -\frac{7}{2}, 55\} $.

2. Tregoni që koeficienti këndor i tij (pjerrësia e grafikut), $ f'(x) $, është pozitiv në çdo pikë të vijës.

Gjejmë derivatin e parë të funksionit të thjeshtuar $ y = 15x - 4 - \frac{4}{x} $.

$$ f(x) = 15x - 4 - 4x^{-1} $$ $$ f'(x) = \frac{d}{dx}(15x - 4 - 4x^{-1}) = 15 - 0 - 4(-1)x^{-2} $$ $$ f'(x) = 15 + 4x^{-2} = 15 + \frac{4}{x^2} $$

Për çdo $ x \in D $, $ x^2 > 0 $. Kështu, $ \frac{4}{x^2} > 0 $.

Prandaj, $ f'(x) = 15 + \frac{4}{x^2} > 15 > 0 $ për çdo $ x $ në bashkësinë e përcaktimit.

Koeficienti këndor është pozitiv në çdo pikë të vijës.