Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 1

Zgjidhja e ushtrimit 1 të mësimit 1.5B në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

Një tub derdh ujë në një lumë. Tabela tregon vëllimin e ujit, yy (m3), që del nga tubi në çdo sekondë, për lartësi të ndryshme të ujit në tub, xx (m). Inxhinierët parashikojnë që xx dhe yy të lidhen me anë të relacionit y=axny=ax^n.

  1. Duke vizatuar drejtëzën e përafrimit më të mirë në sistemin e boshteve përkatëse, tregoni që inxhinierët kanë të drejtë dhe gjeni vlerat e përafërta të aa dhe të nn.
  2. Sa është vëllimi i ujit (në m3) që parashikoni të derdhet nga tubi, në çdo sekondë, kur thellësia e ujit është: i) 1,35 metra ii) 3,2 metra?
  3. Cila nga dy përgjigjet e kërkesës (b) është më afër së vërtetës?

Dëshiron të mësosh me video?

Kliko këtu dhe bëj Subscribe në YouTube!

Zgjidhja

  1. Për të treguar që inxhinierët kanë të drejtë dhe për të gjetur vlerat e përafërta të $a$ dhe $n$, transformojmë relacionin $y=ax^n$ në një formë lineare duke marrë logaritmin natyror (ose me bazë 10) nga të dyja anët.

    Marrim $\ln$ nga të dyja anët:

    $$ \ln y = \ln (ax^n) $$ $$ \ln y = \ln a + \ln (x^n) $$ $$ \ln y = \ln a + n \ln x $$

    Kjo është një formë lineare $Y = c + mX$, ku $Y = \ln y$, $X = \ln x$, $m = n$, dhe $c = \ln a$.

    Llogarisim $\ln x$ dhe $\ln y$ për pikat e dhëna:

    $x$ $y$ $\ln x$ $\ln y$
    1,2 5,8 0,182 1,758
    1,3 7,6 0,262 2,028
    1,4 8,7 0,336 2,163
    1,5 10,0 0,405 2,303

    Vizatojmë pikat $(\ln x, \ln y)$ në një sistem koordinativ. Nëse pikat shtrihen afërsisht në një vijë të drejtë, atëherë relacioni është i saktë. Përdorim pikat $(0.182, 1.758)$, $(0.262, 2.028)$, $(0.336, 2.163)$, $(0.405, 2.303)$.

    Duke vizatuar këto pika dhe duke ndërtuar drejtëzën e përafrimit më të mirë, vërejmë se pikat janë afërsisht në një drejtëz, kështu që inxhinierët kanë të drejtë.

    Për të gjetur $n$ (koeficientin këndor) dhe $\ln a$ (prerjen me boshtin $Y$), mund të përdorim dy pika nga drejtëza e përafrimit më të mirë. Le të përdorim pikat e para dhe të fundit për një vlerësim të përafërt:

    $$ n = \frac{2.303 - 1.758}{0.405 - 0.182} = \frac{0.545}{0.223} \approx 2.44 $$

    Për të gjetur $\ln a$, zëvendësojmë $n$ dhe një pikë (p.sh., $\ln x = 0.182, \ln y = 1.758$):

    $$ 1.758 = \ln a + 2.44 \times 0.182 $$ $$ 1.758 = \ln a + 0.44488 $$ $$ \ln a = 1.758 - 0.44488 = 1.31312 $$ $$ a = e^{1.31312} \approx 3.72 $$

    Pra, vlerat e përafërta janë $n \approx 2.44$ dhe $a \approx 3.72$.

  2. Përdorim formulën $y = 3.72 x^{2.44}$:

    i) Kur thellësia e ujit është $x = 1.35$ metra:

    $$ y = 3.72 \times (1.35)^{2.44} $$ $$ y = 3.72 \times 1.764 \approx 6.56 \text{ m}^3/\text{s} $$

    ii) Kur thellësia e ujit është $x = 3.2$ metra:

    $$ y = 3.72 \times (3.2)^{2.44} $$ $$ y = 3.72 \times 18.99 \approx 70.64 \text{ m}^3/\text{s} $$

  3. Përgjigja e kërkesës (b)(i), $x = 1.35$ metra, është më afër vërtetës sepse kjo vlerë $x$ bie brenda rangut të të dhënave të tabelës (1,2 deri në 1,5 metra). Kjo njihet si interpolim dhe është më e besueshme. Përgjigja për $x = 3.2$ metra është ekstrapolim, duke shkuar jashtë rangut të të dhënave të njohura, dhe kështu është më pak e besueshme.