Zgjidhja e ushtrimit 2

Për të treguar se ekziston një relacion i formës $S = k \cdot t^n$ dhe për të gjetur konstantet $k$ dhe $n$, transformojmë ekuacionin duke marrë logaritmin natyror (ln) në të dy anët:

Kjo është një formë e drejtëzës $Y = C + nX$, ku $Y = \ln(S)$, $X = \ln(t)$ dhe $C = \ln(k)$. Pjerrësia është $n$ dhe prerja me boshtin Y është $\ln(k)$.

Marrim dy pika nga tabela, p.sh., $(t_1, S_1) = (2, 17)$ dhe $(t_4, S_4) = (5, 117)$.

Për $t=2, S=17$: $\ln(17) = \ln(k) + n \cdot \ln(2)$

Për $t=5, S=117$: $\ln(117) = \ln(k) + n \cdot \ln(5)$

Zbresim ekuacionin e parë nga i dyti:

Përdorim vlerën $n \approx 2.1$ dhe pikën $(2, 17)$ për të gjetur $k$:

Vlerat e konstanteve janë $n \approx 2.1$ dhe $k \approx 3.97$. Relacioni është $S \approx 3.97 \cdot t^{2.1}$.

Verifikim i përafrimit:

• Për $t=2$, $S = 3.97 \cdot 2^{2.1} \approx 3.97 \cdot 4.287 = 17.02$ (vlerë reale 17)
• Për $t=3$, $S = 3.97 \cdot 3^{2.1} \approx 3.97 \cdot 11.218 = 44.53$ (vlerë reale 40)
• Për $t=4$, $S = 3.97 \cdot 4^{2.1} \approx 3.97 \cdot 18.919 = 75.02$ (vlerë reale 73)
• Për $t=5$, $S = 3.97 \cdot 5^{2.1} \approx 3.97 \cdot 28.918 = 114.80$ (vlerë reale 117)

Përfundimisht, relacioni është $S = 3.97 \cdot t^{2.1}$.

1. Ky model algjebrik është krijuar bazuar në të dhënat për $t$ nga 2 deri në 5 sekonda. Vlerësimi për $t=1$ sekondë është një ekstrapolim brenda afërsisë së intervalit të të dhënave të dhëna ($2 \le t \le 5$). Vlerësimi për $t=1$ minutë ($60$ sekonda) është një ekstrapolim shumë më i largët nga ky interval.

2. Ekstrapolimi i largët është gjithmonë më pak i besueshëm sesa interpolimi (vlerësimi brenda intervalit të të dhënave) ose ekstrapolimi i afërt. Kjo pasi modeli mund të mos jetë i vlefshëm për intervale kohore shumë të ndryshme nga ato ku u mblodhën të dhënat, pasi fenomene fizike mund të ndryshojnë sjelljen e tyre në limite të caktuara kohore (p.sh., përhapja e vajit mund të ngadalësohet me kalimin e kohës për shkak të kufizimeve të sipërfaqes ose trashësisë).

1. Për të treguar se ekziston një relacion i formës $S = k \cdot t^n$, marrim logaritmin natyror të të dyja anëve të ekuacionit:

   $$ \ln(S) = \ln(k \cdot t^n) $$

   Duke përdorur vetitë e logaritmit ($\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ dhe $\ln(a^b) = b \ln(a)$), kemi:

   $$ \ln(S) = \ln(k) + n \ln(t) $$

   Nëse vendosim $Y = \ln(S)$, $X = \ln(t)$ dhe $C = \ln(k)$, ekuacioni merr formën e një ekuacioni linear:

   $$ Y = nX + C $$

   Kjo do të thotë se, nëse ekziston një relacion i tillë, pikat $(\ln(t), \ln(S))$ duhet të shtrihen afërsisht në një vijë të drejtë. Koeficienti këndor i kësaj vije do të jetë $n$, dhe prerja me boshtin $Y$ do të jetë $\ln(k)$.

   Llogarisim vlerat e $\ln(t)$ dhe $\ln(S)$:

   • Për $(t=2, S=17)$: $X_1 = \ln(2) \approx 0.693$, $Y_1 = \ln(17) \approx 2.833$
   • Për $(t=3, S=40)$: $X_2 = \ln(3) \approx 1.099$, $Y_2 = \ln(40) \approx 3.689$
   • Për $(t=4, S=73)$: $X_3 = \ln(4) \approx 1.386$, $Y_3 = \ln(73) \approx 4.290$
   • Për $(t=5, S=117)$: $X_4 = \ln(5) \approx 1.609$, $Y_4 = \ln(117) \approx 4.762$

   Llogarisim koeficientin këndor $n$ duke përdorur pika të ndryshme:

   • Duke përdorur pikat $(t=2, S=17)$ dhe $(t=3, S=40)$:

   $$ n = \frac{Y_2 - Y_1}{X_2 - X_1} = \frac{\ln(40) - \ln(17)}{\ln(3) - \ln(2)} = \frac{\ln(40/17)}{\ln(3/2)} = \frac{\ln(2.3529)}{\ln(1.5)} \approx \frac{0.8555}{0.4055} \approx 2.110 $$

   • Duke përdorur pikat $(t=4, S=73)$ dhe $(t=5, S=117)$:

   $$ n = \frac{Y_4 - Y_3}{X_4 - X_3} = \frac{\ln(117) - \ln(73)}{\ln(5) - \ln(4)} = \frac{\ln(117/73)}{\ln(5/4)} = \frac{\ln(1.6027)}{\ln(1.25)} \approx \frac{0.4716}{0.2231} \approx 2.114 $$

   Meqenëse vlerat e $n$ janë shumë afër njëra-tjetrës (rreth $2.11$), kjo tregon se ekziston një relacion i fuqisë ndërmjet $S$ dhe $t$. Për vlera të konstanteve, marrim një mesatare ose përdorim vlerën nga llogaritja e parë.

   Duke marrë $n \approx 2.11$ (dy shifra pas presjes dhjetore):

   Për të gjetur $k$, përdorim ekuacionin $S = k \cdot t^n$ dhe një nga pikat e dhëna, p.sh., $(t=2, S=17)$:

   $$ 17 = k \cdot 2^{2.11} $$

   $$ k = \frac{17}{2^{2.11}} = \frac{17}{4.327} \approx 3.929 $$

   Duke rrumbullakosur $k$ në dy shifra pas presjes dhjetore, $k \approx 3.93$.

   Konstantet janë $k \approx 3.93$ dhe $n \approx 2.11$. Relacioni është $S \approx 3.93 \cdot t^{2.11}$.

2. Ky model algjebrik është më i mirë për vlerësimin e syprinës së vajit pas 1 sekonde, sesa pas 1 minute, për shkak të natyrës së ekstrapolimit:

   • Vlerësimi për $t=1$ sekondë: Kjo është një ekstrapolim i afërt, pasi $t=1$ është afër intervalit të të dhënave të dhëna ($t \in [2, 5]$ sekonda). Modelet algjebrike zakonisht japin rezultate të besueshme për vlera që janë afër ose brenda rangut të të dhënave të vëzhguara.
   • Vlerësimi për $t=1$ minutë ($60$ sekonda): Kjo është një ekstrapolim i largët. Vlera $t=60$ sekonda është shumë larg nga intervali i të dhënave të dhëna ($t \in [2, 5]$ sekonda). Kur ekstrapolojmë shumë larg nga të dhënat e vëzhguara, nuk mund të jemi të sigurt se modeli ende pasqyron saktë sjelljen e fenomenit, pasi kushtet fizike ose rregullat themelore mund të ndryshojnë jashtë intervalit të të dhënave origjinale.