Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 3

Zgjidhja e ushtrimit 3 të mësimit 2.1A në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

Në ushtrimet e mëposhtme, unu_n paraqet kufizën e përgjithshme të një vargu për n∈Z+n \in \Z^+.


Tregoni nëse lista e kufizave u1u_1, u2u_2, u3u_3, u4u_4 përcakton një varg rritës, zbritës ose asnjë prej tyre, në qoftë se:

  1. unu_n = 6n+1\frac{6}{n+1}
  2. unu_n = nn2 + 4nn - 3
  3. unu_n = nn2 - 6nn - 3
  4. unu_n = nn\sqrt[n]{n}
  5. unu_n = logn+1_{n+1}(nn + 2)
  6. unu_n = sin(30nn)°\degreecos(30nn)°\degree

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

  1. Jepet vargu me kufizë të përgjithshme $u_n = \frac{6}{n+1}$.

    Gjejmë katër kufizat e para:

    • $u_1 = \frac{6}{1+1} = \frac{6}{2} = 3$
    • $u_2 = \frac{6}{2+1} = \frac{6}{3} = 2$
    • $u_3 = \frac{6}{3+1} = \frac{6}{4} = 1.5$
    • $u_4 = \frac{6}{4+1} = \frac{6}{5} = 1.2$

    Lista e kufizave është $3, 2, 1.5, 1.2, \dots$.

    Vërejmë se $u_1 > u_2 > u_3 > u_4$. Kështu, vargu është zbritës.

  2. Jepet vargu me kufizë të përgjithshme $u_n = n^2 + 4n - 3$.

    Gjejmë katër kufizat e para:

    • $u_1 = 1^2 + 4(1) - 3 = 1 + 4 - 3 = 2$
    • $u_2 = 2^2 + 4(2) - 3 = 4 + 8 - 3 = 9$
    • $u_3 = 3^2 + 4(3) - 3 = 9 + 12 - 3 = 18$
    • $u_4 = 4^2 + 4(4) - 3 = 16 + 16 - 3 = 29$

    Lista e kufizave është $2, 9, 18, 29, \dots$.

    Vërejmë se $u_1 < u_2 < u_3 < u_4$. Kështu, vargu është rritës.

  3. Jepet vargu me kufizë të përgjithshme $u_n = n^2 - 6n - 3$.

    Gjejmë katër kufizat e para:

    • $u_1 = 1^2 - 6(1) - 3 = 1 - 6 - 3 = -8$
    • $u_2 = 2^2 - 6(2) - 3 = 4 - 12 - 3 = -11$
    • $u_3 = 3^2 - 6(3) - 3 = 9 - 18 - 3 = -12$
    • $u_4 = 4^2 - 6(4) - 3 = 16 - 24 - 3 = -11$

    Lista e kufizave është $-8, -11, -12, -11, \dots$.

    Vërejmë se $u_1 > u_2 > u_3$ por $u_3 < u_4$. Vargu as nuk rritet as nuk zbret në mënyrë monotone. Kështu, vargu nuk është as rritës as zbritës.

  4. Jepet vargu me kufizë të përgjithshme $u_n = \sqrt[n]{n}$.

    Gjejmë katër kufizat e para:

    • $u_1 = \sqrt[1]{1} = 1$
    • $u_2 = \sqrt[2]{2} \approx 1.414$
    • $u_3 = \sqrt[3]{3} \approx 1.442$
    • $u_4 = \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$

    Lista e kufizave është $1, 1.414, 1.442, 1.414, \dots$.

    Vërejmë se $u_1 < u_2 < u_3$ por $u_3 > u_4$. Vargu nuk është as rritës as zbritës.

  5. Jepet vargu me kufizë të përgjithshme $u_n = \log_{n+1}(n+2)$.

    Gjejmë katër kufizat e para:

    • $u_1 = \log_{1+1}(1+2) = \log_2(3) \approx 1.585$
    • $u_2 = \log_{2+1}(2+2) = \log_3(4) \approx 1.262$
    • $u_3 = \log_{3+1}(3+2) = \log_4(5) \approx 1.161$
    • $u_4 = \log_{4+1}(4+2) = \log_5(6) \approx 1.113$

    Lista e kufizave është $1.585, 1.262, 1.161, 1.113, \dots$.

    Vërejmë se $u_1 > u_2 > u_3 > u_4$. Kështu, vargu është zbritës.

  6. Jepet vargu me kufizë të përgjithshme $u_n = \sin(30n)^\circ \cos(30n)^\circ$.

    Duke përdorur formulën e dyfishit të këndit $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$, kemi $u_n = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 30n)^\circ = \frac{1}{2} \sin(60n)^\circ$.

    Gjejmë katër kufizat e para:

    • $u_1 = \frac{1}{2} \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0.433$
    • $u_2 = \frac{1}{2} \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0.433$
    • $u_3 = \frac{1}{2} \sin(180^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$
    • $u_4 = \frac{1}{2} \sin(240^\circ) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{4} \approx -0.433$

    Lista e kufizave është $0.433, 0.433, 0, -0.433, \dots$.

    Vërejmë se $u_1 = u_2$, pastaj $u_2 > u_3 > u_4$. Meqenëse kufizat nuk janë në rritje të rreptë apo zbritje të rreptë, vargu nuk është as rritës as zbritës.