Zgjidhja e ushtrimit 9
Zgjidhja e ushtrimit 9 të mësimit 2.1A në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.
Pyetja
Në ushtrimet e mëposhtme, paraqet kufizën e përgjithshme të një vargu për .
Provoni se vargu = nuk është as rritës e as zbritës.
Zgjidhja
Për të provuar se vargu $u_n = \frac{1+(-1)^n}{n^2}$ nuk është as rritës e as zbritës, shqyrtojmë vlerat e kufizës $u_n$ në varësi të çiftësisë së $n$.
-
Nëse $n$ është numër tek (p.sh., $n=1, 3, 5, \ldots$):
Kufiza $(-1)^n = -1$.
Pra, $u_n = \frac{1+(-1)^n}{n^2} = \frac{1-1}{n^2} = \frac{0}{n^2} = 0$.
-
Nëse $n$ është numër çift (p.sh., $n=2, 4, 6, \ldots$):
Kufiza $(-1)^n = 1$.
Pra, $u_n = \frac{1+(-1)^n}{n^2} = \frac{1+1}{n^2} = \frac{2}{n^2}$.
Tani shqyrtojmë marrëdhënien midis kufizave të njëpasnjëshme:
-
Merrni një $n$ tek, p.sh., $n=1$.
$$u_1 = 0$$Kufiza pasardhëse është $u_2$. Meqenëse $n=2$ është çift:
$$u_2 = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$Këtu, $u_2 = \frac{1}{2} > u_1 = 0$. Kjo tregon se vargu nuk është zbritës.
-
Merrni një $n$ çift, p.sh., $n=2$.
$$u_2 = \frac{1}{2}$$Kufiza pasardhëse është $u_3$. Meqenëse $n=3$ është tek:
$$u_3 = 0$$Këtu, $u_3 = 0 < u_2 = \frac{1}{2}$. Kjo tregon se vargu nuk është rritës.
Meqenëse gjejmë raste ku $u_{n+1} > u_n$ (p.sh., nga $n=1$ tek $n=2$) dhe raste ku $u_{n+1} < u_n$ (p.sh., nga $n=2$ tek $n=3$), vargu $u_n$ nuk është as rritës e as zbritës.