Zgjidhja e ushtrimit 2
Zgjidhja e ushtrimit 2 të mësimit 2.3B në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.
Pyetja
Në një progresion gjeometrik me herës > 0, jepen = 45 dhe 405.
- Gjeni shumën e gjashtë kufizave të para të këtij progresioni.
- Gjeni vlerën më të vogël të mundshme të shumës së kufizave të para të progresionit, e cila është më e madhe se 1000000.
Zgjidhja
a) Gjejmë fillimisht herësin $r$ dhe kufizën e parë $u_1$.
Dimë që $u_3 = u_1 \cdot r^2 = 45$ dhe $u_5 = u_1 \cdot r^4 = 405$.
Duke pjesëtuar $u_5$ me $u_3$, kemi:
$$\frac{u_5}{u_3} = \frac{u_1 \cdot r^4}{u_1 \cdot r^2} = \frac{405}{45}$$
$$r^2 = 9$$
$$r = 3 \quad \text{(sepse } r > 0)$$
Tani, gjejmë $u_1$:
$u_1 \cdot r^2 = 45 \implies u_1 \cdot 3^2 = 45 \implies u_1 \cdot 9 = 45 \implies u_1 = 5$.
Shuma e gjashtë kufizave të para është:
$S_6 = \frac{u_1(r^6 - 1)}{r-1} = \frac{5(3^6 - 1)}{3-1} = \frac{5(729 - 1)}{2} = \frac{5(728)}{2} = 5(364) = 1820$.
b) Gjejmë $n$ e tillë që $S_n > 1000000$.
$$S_n = \frac{u_1(r^n - 1)}{r-1} = \frac{5(3^n - 1)}{3-1} = \frac{5(3^n - 1)}{2}$$
Ne duam që $S_n > 1000000$, pra:
$$\frac{5(3^n - 1)}{2} > 1000000$$
$$5(3^n - 1) > 2000000$$
$$3^n - 1 > 400000$$
$$3^n > 400001$$
Marrim logaritmin në bazë 3 të të dyja anëve:
$$n > \log_3{400001}$$
$$n > \frac{\ln{400001}}{\ln{3}} \approx 11.83$$
Pra, vlera më e vogël e mundshme e $n$ është $n = 12$.