Zgjidhja e ushtrimit 7
Zgjidhja e ushtrimit 7 të mësimit 3.2B në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.
Pyetja
Për të gjitha ushtrimet e mëposhtme, argumentoni zgjidhjen.
Tregoni që, në qoftë se () = + = 8, atëherë sec2 = 4.
Prej këtej, zgjidhni ekuacionin = 8, ku është në radianë dhe 0 < < .
Zgjidhja
Le të analizojmë ekuacionin e dhënë:
Ne kemi:
\[ f(\alpha) = \frac{1}{1 + \sin \alpha} + \frac{1}{1 - \sin \alpha} = 8 \]
Së pari, le të bashkojmë thyesat e ekuacionit:
Bashkimi i thyesave do të na japë:
\[ f(\alpha) = \frac{(1 - \sin \alpha) + (1 + \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)} = \frac{2}{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{2}{\cos^2 \alpha} \]
Pra, kemi:
\[ \frac{2}{\cos^2 \alpha} = 8 \]
Shkruajmë këtë ekuacion në një formë më të thjeshtë:
\[ \cos^2 \alpha = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]
Pra, nga kjo, ne arrijmë në përfundimin se:
\[ \sec^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 \]
Tani që e kemi treguar se:
- Sec\( ^2 \alpha = 4 \)
Le të kalojmë në pjesën e dytë të detyrës, ku na kërkohet të zgjidhim ekuacionin:
\[ f\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 8 \]
Siç e dimë, kjo na jep:
\[ \frac{1}{1 + \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)} + \frac{1}{1 - \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)} = 8 \]
Gjithashtu, mundemi të përdorim identitetin e sinusit për të shprehur:
\[ \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \sin x \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos x \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \]
Kjo i jep:
\[ \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x \]
Pra tani zëvendësojmë këtë në ekuacionin tonë:
\[ \frac{1}{1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x\right)} + \frac{1}{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x\right)} = 8 \]
Ky është ekuacioni që duhet zgjidhur duke bërë zëvendësime dhe marrë parasysh kufizimet për \( x \).