Zgjidhja e ushtrimit 8
Zgjidhja e ushtrimit 8 të mësimit 4.1B në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.
Pyetja
Trajta e përgjithshme e një funksioni kubik është () = 3 + 2 + + , ku , , dhe janë konstante dhe > 0.
a) Çfarë kushtesh duhet të vendosen për , dhe , në mënyrë të tillë që grafiku i = ():
- të mos ketë pika stacionare?
- të ketë vetëm një pikë stacionare?
- të ketë dy pika të ndryshme stacionare?
b) Për ç'vlera të , të shprehura në lidhje me , , dhe , grafiku i = ():
- është i mysët?
- është i lugët?
- ka pikë infleksioni?
Zgjidhja
Për një funksion kubik $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, ku $a > 0$.
Për të gjetur pikat stacionare, duhet të llogarisim derivatin e parë dhe ta barazojmë me zero:
$$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$
Pikat stacionare gjenden kur $f'(x) = 0$, pra kur $3ax^2 + 2bx + c = 0$. Kjo është një ekuacion kuadratik.
-
të mos ketë pika stacionare?
Për të mos pasur pika stacionare, ekuacioni kuadratik $3ax^2 + 2bx + c = 0$ nuk duhet të ketë zgjidhje reale. Kjo ndodh kur diskriminanti i tij është negativ.
Diskriminanti $\Delta = (2b)^2 - 4(3a)(c) = 4b^2 - 12ac$.
Pra, kushti është:
$$\Delta < 0 \implies 4b^2 - 12ac < 0 \implies b^2 - 3ac < 0$$
-
të ketë vetëm një pikë stacionare?
Për të pasur vetëm një pikë stacionare, ekuacioni kuadratik $3ax^2 + 2bx + c = 0$ duhet të ketë saktësisht një zgjidhje reale (një rrënjë të dyfishtë). Kjo ndodh kur diskriminanti i tij është zero.
Kushti është:
$$\Delta = 0 \implies 4b^2 - 12ac = 0 \implies b^2 - 3ac = 0$$
-
të ketë dy pika të ndryshme stacionare?
Për të pasur dy pika të ndryshme stacionare, ekuacioni kuadratik $3ax^2 + 2bx + c = 0$ duhet të ketë dy zgjidhje reale të ndryshme. Kjo ndodh kur diskriminanti i tij është pozitiv.
Kushti është:
$$\Delta > 0 \implies 4b^2 - 12ac > 0 \implies b^2 - 3ac > 0$$
b) Për të përcaktuar mysëtllëkun/lugëtllëkun dhe pikat e infleksionit, duhet të llogarisim derivatin e dytë:
$$f''(x) = \frac{d}{dx}(3ax^2 + 2bx + c) = 6ax + 2b$$
-
është i mysët?
Grafiku është i mysët (konkav poshtë) kur $f''(x) < 0$.
$$6ax + 2b < 0$$
Meqenëse $a > 0$, mund të pjesëtojmë me $6a$ (i cili është pozitiv) dhe të zhvendosim $2b$:
$$6ax < -2b$$
$$x < -\frac{2b}{6a}$$
$$x < -\frac{b}{3a}$$
-
është i lugët?
Grafiku është i lugët (konkav lart) kur $f''(x) > 0$.
$$6ax + 2b > 0$$
Meqenëse $a > 0$:
$$6ax > -2b$$
$$x > -\frac{2b}{6a}$$
$$x > -\frac{b}{3a}$$
-
ka pikë infleksioni?
Pikat e infleksionit ndodhin kur $f''(x) = 0$ dhe konkaviteti ndryshon shenjë. Për një funksion kubik, ka gjithmonë një pikë infleksioni.
Vendosim $f''(x) = 0$:
$$6ax + 2b = 0$$
$$6ax = -2b$$
$$x = -\frac{2b}{6a}$$
$$x = -\frac{b}{3a}$$