Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 9

Zgjidhja e ushtrimit 9 të mësimit 4.1B në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

Trajta e përgjithshme e funksionit të fuqisë së katërt është f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+ef(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e, ku aa, bb, cc, dd dhe ee janë konstante dhe a≠a \mathrel{\char`≠} 0.

Çfarë kushtesh duhen vendosur për këta parametra, në mënyrë që të ketë saktësisht dy ndryshime në përkulshmërinë e vijës y=f(x)y = f(x)?

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

Për të gjetur pikat e infleksionit, duhet të llogarisim derivatin e dytë të funksionit $f(x)$.

  1. Derivati i parë i funksionit $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ është:

$$\large{f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d}$$

  1. Derivati i dytë i funksionit $f(x)$ është:

$$\large{f''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c}$$

Pikat e infleksionit ndodhin kur $f''(x) = 0$ dhe shenja e $f''(x)$ ndryshon. Meqenëse $f''(x)$ është një funksion kuadratik, për të pasur saktësisht dy ndryshime në përkulshmëri, ekuacioni kuadratik $12ax^2 + 6bx + 2c = 0$ duhet të ketë saktësisht dy rrënjë reale të ndryshme.

Një ekuacion kuadratik $Ax^2 + Bx + C = 0$ ka dy rrënjë reale të ndryshme nëse diskriminanti i tij, $\Delta = B^2 - 4AC$, është më i madh se zero ($\Delta > 0$).

Për $f''(x) = 0$, kemi:

  • $A = 12a$

  • $B = 6b$

  • $C = 2c$

Llogarisim diskriminantin:

$$\large{\Delta = (6b)^2 - 4(12a)(2c)}$$
$$\large{\Delta = 36b^2 - 96ac}$$

Për të pasur dy pika infleksioni, duhet të kemi $\Delta > 0$:

$$\large{36b^2 - 96ac > 0}$$

Pjesëtojmë të dyja anët me 12:

$$\large{3b^2 - 8ac > 0}$$

Gjithashtu, kushti që $f(x)$ të jetë funksion i fuqisë së katërt është që $a \ne 0$, i cili është dhënë në problem.

Kushti i kërkuar është:

$$\large{3b^2 - 8ac > 0}$$