Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 5

Zgjidhja e ushtrimit 5 të mësimit 4.2B në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

Një karusel i madh vendoset në një qytet për të tërhequr tursitët. Për të bërë një rrotullim të plotë, karuselit i duhen pak më shumë se 6 minuta (2π\pi minuta). Lartësia vertikale e një pasagjeri të karuselit, yy metra mbi tokë, jepet nga funskioni yy = 21 - 20cos tt, ku tt është koha në minuta, duke filluar nga çasti kur pasagjeri ishte në pjesën më të ulët të karuselit.

  1. Në ç'lartësi gjendet pasagjeri, kur t=≠3t = \frac{\mathrel{\char`≠}}{3} minuta?
  2. Sa është shpejtësia vertikale e pasagjerit, kur t=≠6t = \frac{\mathrel{\char`≠}}{6} minuta? Argumenttoni përgjigjen.
  3. Sa është nxitimi vertikal i pasagjerit, kur t=≠2t = \frac{\mathrel{\char`≠}}{2} minuta?

Dëshiron të blesh libra manga?

Kliko këtu për të parë ofertat e Kleptobuk

Zgjidhja

Jepet funksioni i lartësisë: $y = 21 - 20\cos t$.

  1. Për të gjetur lartësinë kur $t = \frac{\pi}{3}$ minuta, zëvendësojmë $t$ në funksion:

    $$y = 21 - 20\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$$

    Dimë që $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

    $$y = 21 - 20\left(\frac{1}{2}\right)$$

    $$y = 21 - 10$$

    $$y = 11$$

    Lartësia e pasagjerit, kur $t = \frac{\pi}{3}$ minuta, është $11$ metra.

  2. Shpejtësia vertikale është derivati i parë i funksionit të lartësisë $y$ në lidhje me kohën $t$. Le të shënojmë shpejtësinë me $v(t)$.

    $$v(t) = \frac{dy}{dt}$$

    Duke ditur $y = 21 - 20\cos t$, derivati është:

    $$v(t) = \frac{d}{dt}(21 - 20\cos t)$$

    $$v(t) = 0 - 20(-\sin t)$$

    $$v(t) = 20\sin t$$

    Për të gjetur shpejtësinë kur $t = \frac{\pi}{6}$ minuta, zëvendësojmë $t$ në funksionin e shpejtësisë:

    $$v\left(\frac{\pi}{6}\right) = 20\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$$

    Dimë që $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

    $$v\left(\frac{\pi}{6}\right) = 20\left(\frac{1}{2}\right)$$

    $$v\left(\frac{\pi}{6}\right) = 10$$

    Shpejtësia vertikale e pasagjerit, kur $t = \frac{\pi}{6}$ minuta, është $10$ metra/minutë. Përgjigja argumentohet nga derivati i funksionit të lartësisë, i cili përfaqëson shpejtësinë e ndryshimit të lartësisë me kalimin e kohës.

  3. Nxitimi vertikal është derivati i parë i funksionit të shpejtësisë $v(t)$ (ose derivati i dytë i funksionit të lartësisë $y$) në lidhje me kohën $t$. Le të shënojmë nxitimin me $a(t)$.

    $$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2y}{dt^2}$$

    Duke ditur $v(t) = 20\sin t$, derivati është:

    $$a(t) = \frac{d}{dt}(20\sin t)$$

    $$a(t) = 20\cos t$$

    Për të gjetur nxitimin kur $t = \frac{\pi}{2}$ minuta, zëvendësojmë $t$ në funksionin e nxitimit:

    $$a\left(\frac{\pi}{2}\right) = 20\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

    Dimë që $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

    $$a\left(\frac{\pi}{2}\right) = 20(0)$$

    $$a\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$

    Nxitimi vertikal i pasagjerit, kur $t = \frac{\pi}{2}$ minuta, është $0$ metra/minutë$^2$.