Pyetja
Një karusel i madh vendoset në një qytet për të tërhequr tursitët. Për të bërë një rrotullim të plotë, karuselit i duhen pak më shumë se 6 minuta (2 minuta). Lartësia vertikale e një pasagjeri të karuselit, metra mbi tokë, jepet nga funskioni = 21 - 20cos , ku është koha në minuta, duke filluar nga çasti kur pasagjeri ishte në pjesën më të ulët të karuselit.
- Në ç'lartësi gjendet pasagjeri, kur minuta?
- Sa është shpejtësia vertikale e pasagjerit, kur minuta? Argumenttoni përgjigjen.
- Sa është nxitimi vertikal i pasagjerit, kur minuta?
Zgjidhja
Për të gjetur lartësinë kur $t = \frac{\pi}{3}$ minuta, zëvendësojmë $t$ në funksion:
$$y = 21 - 20\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$$
Dimë që $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.
$$y = 21 - 20\left(\frac{1}{2}\right)$$
$$y = 21 - 10$$
$$y = 11$$
Lartësia e pasagjerit, kur $t = \frac{\pi}{3}$ minuta, është $11$ metra.
Shpejtësia vertikale është derivati i parë i funksionit të lartësisë $y$ në lidhje me kohën $t$. Le të shënojmë shpejtësinë me $v(t)$.
$$v(t) = \frac{dy}{dt}$$
Duke ditur $y = 21 - 20\cos t$, derivati është:
$$v(t) = \frac{d}{dt}(21 - 20\cos t)$$
$$v(t) = 0 - 20(-\sin t)$$
$$v(t) = 20\sin t$$
Për të gjetur shpejtësinë kur $t = \frac{\pi}{6}$ minuta, zëvendësojmë $t$ në funksionin e shpejtësisë:
$$v\left(\frac{\pi}{6}\right) = 20\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$$
Dimë që $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
$$v\left(\frac{\pi}{6}\right) = 20\left(\frac{1}{2}\right)$$
$$v\left(\frac{\pi}{6}\right) = 10$$
Shpejtësia vertikale e pasagjerit, kur $t = \frac{\pi}{6}$ minuta, është $10$ metra/minutë. Përgjigja argumentohet nga derivati i funksionit të lartësisë, i cili përfaqëson shpejtësinë e ndryshimit të lartësisë me kalimin e kohës.
Edhe 1 hap deri te përgjigjja
Hapi i fundit është falas në aplikacion
Vazhdo nga hapi 3, me shpjegime të detajuara, formula dhe vizualizime interaktive.
Të gjitha ushtrimet e librit, pa asnjë kosto.