Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 6

Zgjidhja e ushtrimit 6 të mësimit 4.2B në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

Mund të jetë e dobishme që edhe viti të ndahet në 2π\pi njësi më mirë se në 365 ditë.

Ora e lindjes së diellit në një qytet, përgjatë vitit, mund të modelohet nga funksioni yy = 12 - 5 cos xx, ku lindja e diellit ndodh në yy, kur data e dhënë si xx njësi.

  1. Gjeni shpejtësinë me të cilën po ndryshon yy, kur data është xx = 0,5 njësi.
  2. Në cilin çast shpejtësia e ndryshimit të orës së lindjes së diellit është e barabartë me zero? Argumentoni përgjigjen.
  3. Gjatë një viti, në vijën yy = 12 - 5 cos xx ka dy pika infleksioni. Gjeni vlerat e xx në këto pika.

Dëshiron të mësosh me video?

Kliko këtu dhe bëj Subscribe në YouTube!

Zgjidhja

Funksioni i dhënë është:

$$y = 12 - 5 \cos x$$

  1. Për të gjetur shpejtësinë me të cilën po ndryshon $y$, duhet të gjejmë derivatin e parë të funksionit $y$ në lidhje me $x$, pra $\frac{dy}{dx}$.

    $$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(12 - 5 \cos x)$$

    $$\frac{dy}{dx} = 0 - 5 (-\sin x)$$

    $$\frac{dy}{dx} = 5 \sin x$$

    Tani, zëvendësojmë $x = 0.5$ në derivatin e parë:

    $$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=0.5} = 5 \sin(0.5)$$

    $$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=0.5} \approx 5 \times 0.4794$$

    $$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=0.5} \approx 2.397 \text{ orë/njësi}$$

  2. Shpejtësia e ndryshimit të orës së lindjes së diellit është e barabartë me zero kur derivati i parë $\frac{dy}{dx} = 0$.

    $$5 \sin x = 0$$

    $$\sin x = 0$$

    Në intervalin e një viti (që modelohet si $0 \le x < 2\pi$), vlerat e $x$ për të cilat $\sin x = 0$ janë:

    $$x = 0, \pi$$

    Këto janë pikat ku ora e lindjes së diellit arrin vlerën maksimale ose minimale. Kur shpejtësia e ndryshimit është zero, do të thotë se ora e lindjes së diellit nuk po ndryshon për një çast, pra është në një pikë stacionare.

  3. Pikat e infleksionit gjenden duke barazuar derivatin e dytë me zero, $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$.

    Derivati i parë është:

    $$\frac{dy}{dx} = 5 \sin x$$

    Tani gjejmë derivatin e dytë:

    $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(5 \sin x)$$

    $$\frac{d^2y}{dx^2} = 5 \cos x$$

    Barazojmë derivatin e dytë me zero:

    $$5 \cos x = 0$$

    $$\cos x = 0$$

    Në intervalin e një viti ($0 \le x < 2\pi$), vlerat e $x$ për të cilat $\cos x = 0$ janë:

    $$x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$$

    Këto janë pikat e infleksionit, ku konkaviteti i grafikut ndryshon.