Zgjidhja e ushtrimit 1

Për të gjetur sa kohë i duhet popullatës riprodhuese që të dyfishohet, fillimisht gjejmë popullatën në $t=0$:

$$P(0) = 100e^{0.095 \times 0} - 50 = 100e^0 - 50 = 100 \times 1 - 50 = 50$$

Popullata fillestare është 50 çifte. Dyfishi i kësaj është $2 \times 50 = 100$ çifte. Tani, gjejmë $t$ kur $P(t) = 100$:

$$100 = 100e^{0.095t} - 50$$

$$150 = 100e^{0.095t}$$

$$1.5 = e^{0.095t}$$

Marrim logaritmin natyror nga të dyja anët:

$$\ln(1.5) = 0.095t$$

$$t = \frac{\ln(1.5)}{0.095} \approx \frac{0.405465}{0.095} \approx 4.268$$

Popullatës riprodhuese do t'i duhen rreth 4.27 vjet për t'u dyfishuar.

Shpejtësia e ndryshimit të popullatës riprodhuese jepet nga derivati i parë i $P(t)$ në lidhje me $t$, pra $P'(t)$.

$$P(t) = 100e^{0.095t} - 50$$

$$P'(t) = \frac{d}{dt}(100e^{0.095t} - 50) = 100 \times 0.095e^{0.095t} - 0 = 9.5e^{0.095t}$$

Në çastin kur popullata dyfishohet, $t \approx 4.268$ vjet. Gjejmë shpejtësinë e ndryshimit në këtë çast:

$$P'(4.268) = 9.5e^{0.095 \times 4.268}$$

Meqenëse $e^{0.095 \times 4.268} = 1.5$ (nga pika e parë), atëherë:

$$P'(4.268) = 9.5 \times 1.5 = 14.25$$

Shpejtësia e ndryshimit të popullatës riprodhuese në këtë çast është 14.25 çifte për vit. Kjo tregon se popullata po rritet me 14.25 çifte në vit në momentin që është dyfishuar.