Zgjidhja e ushtrimit 1

Për të gjetur sa kohë i duhet popullatës riprodhuese që të dyfishohet, fillimisht gjejmë popullatën në $t=0$:

$$P(0) = 100e^{0.095 \times 0} - 50 = 100e^0 - 50 = 100 \times 1 - 50 = 50$$

Popullata fillestare është 50 çifte. Dyfishi i kësaj është $2 \times 50 = 100$ çifte. Tani, gjejmë $t$ kur $P(t) = 100$:

$$100 = 100e^{0.095t} - 50$$

$$150 = 100e^{0.095t}$$

$$1.5 = e^{0.095t}$$

Marrim logaritmin natyror nga të dyja anët:

$$\ln(1.5) = 0.095t$$

$$t = \frac{\ln(1.5)}{0.095} \approx \frac{0.405465}{0.095} \approx 4.268$$

Popullatës riprodhuese do t'i duhen rreth 4.27 vjet për t'u dyfishuar.

Shpejtësia e ndryshimit të popullatës riprodhuese jepet nga derivati i parë i $P(t)$ në lidhje me $t$, pra $P'(t)$.

$$P(t) = 100e^{0.095t} - 50$$

$$P'(t) = \frac{d}{dt}(100e^{0.095t} - 50) = 100 \times 0.095e^{0.095t} - 0 = 9.5e^{0.095t}$$

Në çastin kur popullata dyfishohet, $t \approx 4.268$ vjet. Gjejmë shpejtësinë e ndryshimit në këtë çast:

$$P'(4.268) = 9.5e^{0.095 \times 4.268}$$

Meqenëse $e^{0.095 \times 4.268} = 1.5$ (nga pika e parë), atëherë:

$$P'(4.268) = 9.5 \times 1.5 = 14.25$$

Shpejtësia e ndryshimit të popullatës riprodhuese në këtë çast është 14.25 çifte për vit. Kjo tregon se popullata po rritet me 14.25 çifte në vit në momentin që është dyfishuar.

Për të treguar që grafiku është gjithmonë i lugët, duhet të gjejmë derivatin e dytë $P''(t)$ dhe të tregojmë se ai është gjithmonë pozitiv ($P''(t) > 0$).

Kemi $P'(t) = 9.5e^{0.095t}$.

Gjejmë derivatin e dytë:

$$P''(t) = \frac{d}{dt}(9.5e^{0.095t}) = 9.5 \times 0.095e^{0.095t} = 0.9025e^{0.095t}$$

Meqenëse $e^x$ është gjithmonë pozitiv për çdo vlerë reale të $x$, atëherë $e^{0.095t}$ është gjithmonë pozitiv. Po ashtu, 0.9025 është një numër pozitiv.

Rrjedhimisht, $P''(t) = 0.9025e^{0.095t} > 0$ për çdo $t \ge 0$.

Meqenëse derivati i dytë është gjithmonë pozitiv, grafiku i funksionit të popullatës $P(t)$ është gjithmonë i lugët (konkav lart).