Zgjidhja e ushtrimit 2
Zgjidhja e ushtrimit 2 të mësimit 4.3B në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.
Pyetja
Një enëlarëse e re kushton 17000 lekë. Për shkak të amortizimit dhe faktorëve të tjerë, vlera e saj bie. Vlera aktuale e enëlarëses, në lekë, në vitin paraqitet nga funksioni = 23000e-0,134 - 6000.
- Verifikoni nëse enëlarësja kushton 17000 lekë, kur = 0.
- Me çfarë shpejtësie ndryshon vlera e saj, kur = 5?
- Në cilin vit, vlera e enëlarëses bie me një normë prej 1200 lekësh në vit?
- Kur enëlarësja mbërrin në fund të jetës së saj funksionale, vlera e saj bëhet zero. i) Kur parashikohet nga funksioni që të ndodhë kjo? ii) Me çfarë norme po zhvlerësohet ajo në këtë pikë?
Zgjidhja
1. Për të verifikuar vlerën kur \( t = 0 \):
$$ y = 23000e^{-0.134 \cdot 0} - 6000 = 23000 \cdot 1 - 6000 = 17000 $$
Pra, kur \( t = 0 \), vlera është 17000 lekë.
2. Për të gjetur shpejtësinë e ndryshimit të vlerës, gjejmë derivatin e funksionit \( y \) në lidhje me \( t \):
$$ \frac{dy}{dt} = 23000 \cdot (-0.134)e^{-0.134t} = -3082e^{-0.134t} $$
Kur \( t = 5 \):
$$ \frac{dy}{dt} = -3082e^{-0.134 \cdot 5} \approx -3082 \cdot 0.5134 = -1582.32 \text{ lekë/vit} $$
Pra, shpejtësia e ndryshimit të vlerës kur \( t = 5 \) është rreth -1582.32 lekë/vit.
3. Për të gjetur vitin kur vlera bie me 1200 lekë në vit, vendosim \( \frac{dy}{dt} = -1200 \):
$$ -1200 = -3082e^{-0.134t} $$
$$ e^{-0.134t} = \frac{1200}{3082} \approx 0.3893 $$
$$ -0.134t = \ln(0.3893) \approx -0.9432 $$
$$ t = \frac{-0.9432}{-0.134} \approx 7.04 \text{ vjet} $$
Pra, vlera bie me një normë prej 1200 lekësh në vit pas afërsisht 7.04 vjetësh.
4. Kur enëlarësja mbërrin në fund të jetës së saj funksionale, \( y = 0 \):
i) Për të gjetur kur \( y = 0 \):
$$ 0 = 23000e^{-0.134t} - 6000 $$
$$ 23000e^{-0.134t} = 6000 $$
$$ e^{-0.134t} = \frac{6000}{23000} \approx 0.2609 $$
$$ -0.134t = \ln(0.2609) \approx -1.3435 $$
$$ t = \frac{-1.3435}{-0.134} \approx 10.03 \text{ vjet} $$
Pra, kjo parashikohet të ndodhë pas afërsisht 10.03 vjetësh.
ii) Për të gjetur normën e zhvlerësimit në këtë pikë, llogarisim \( \frac{dy}{dt} \) kur \( t = 10.03 \):
$$ \frac{dy}{dt} = -3082e^{-0.134 \cdot 10.03} \approx -3082 \cdot 0.2604 = -802.56 \text{ lekë/vit} $$
Pra, norma e zhvlerësimit në këtë pikë është rreth -802.56 lekë/vit.