Zgjidhja e ushtrimit 5
Zgjidhja e ushtrimit 5 të mësimit 4.3B në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.
Pyetja
Një parazit ka infektuar një kope delesh. Sipërfaqja e habitatit të deleve spërkatet me një insekticid eksperimental. Një kampion nga kopeja e deleve kontrollohet në ditën e parë dhe në ditën e shtatë pas spërkatjes. Në ditën e parë, në kampionin e deleve u gjetën 250 parazitë. Në ditën e shtatë, u gjetën 100 parazitë. Numri i parazitëve, , lidhet me ditën, , siç tregohet nga funksioni () = ln + , ku dhe janë konstante.
- Përdorni informacionin e dhënë për të gjetur vlerat e konstanteve dhe .
- Me çfarë shpejtësie ndryshon numri i parazitëve në ditën e katërt?
- Kopeja do të quhet e pastruar nga parazitët, kur numri i tyre, sipas funksionit, të jetë më i vogël se 1. Duke argumentuar veprimet, gjeni: i) vlerën e në të cilën ndodh kjo; ii) shpejtësinë e ndryshimit të numrit të parazitëve në këtë çast.
Zgjidhja
1. Gjetja e vlerave të konstanteve $k$ dhe $c$:
Jepen dy pika të të dhënave:
- Në ditën e parë, $t=1$, numri i parazitëve $P(1) = 250$.
- Në ditën e shtatë, $t=7$, numri i parazitëve $P(7) = 100$.
Funksioni i dhënë është $P(t) = k \cdot \ln t + c$.
Duke zëvendësuar pikën e parë $(t=1, P=250)$ në funksion:
$$P(1) = k \cdot \ln(1) + c = 250$$Meqenëse $\ln(1) = 0$:
$$k \cdot 0 + c = 250$$$$c = 250$$Tani, duke zëvendësuar pikën e dytë $(t=7, P=100)$ dhe vlerën e $c$ në funksion:
$$P(7) = k \cdot \ln(7) + c = 100$$$$k \cdot \ln(7) + 250 = 100$$$$k \cdot \ln(7) = 100 - 250$$$$k \cdot \ln(7) = -150$$$$k = \frac{-150}{\ln(7)}$$Vlerat e konstanteve janë $c = 250$ dhe $k = \frac{-150}{\ln(7)} \approx -77.085$.
2. Me çfarë shpejtësie ndryshon numri i parazitëve në ditën e katërt?
Shpejtësia e ndryshimit është derivati i parë i funksionit $P(t)$ në lidhje me $t$.
$$P'(t) = \frac{d}{dt}(k \cdot \ln t + c)$$$$P'(t) = k \cdot \frac{1}{t} + 0$$$$P'(t) = \frac{k}{t}$$Duke zëvendësuar vlerën e $k$:
$$P'(t) = \frac{-150}{t \cdot \ln(7)}$$Për ditën e katërt, $t=4$:
$$P'(4) = \frac{-150}{4 \cdot \ln(7)}$$$$P'(4) = \frac{-37.5}{\ln(7)}$$$$P'(4) \approx \frac{-37.5}{1.9459} \approx -19.27$$Numri i parazitëve ndryshon me shpejtësi rreth $-19.27$ parazitë/ditë në ditën e katërt. Shenja negative tregon ulje.
3. Pastrimi i kopesë:
i) Vlera e $t$ në të cilën numri i parazitëve është më i vogël se 1.
Për të gjetur kur numri i parazitëve bëhet më i vogël se 1, vendosim $P(t) = 1$ dhe zgjidhim për $t$:
$$k \cdot \ln t + c = 1$$Zëvendësojmë vlerat e $k$ dhe $c$:
$$\frac{-150}{\ln(7)} \cdot \ln t + 250 = 1$$$$\frac{-150}{\ln(7)} \cdot \ln t = 1 - 250$$$$\frac{-150}{\ln(7)} \cdot \ln t = -249$$$$\ln t = \frac{-249 \cdot \ln(7)}{-150}$$$$\ln t = \frac{249}{150} \cdot \ln(7)$$$$\ln t = 1.66 \cdot \ln(7)$$Duke përdorur vetinë e logaritmit $a \ln b = \ln (b^a)$:
$$\ln t = \ln(7^{1.66})$$$$t = 7^{1.66}$$$$t \approx 25.558$$Kopeja do të quhet e pastruar kur $t$ është më i madh se 25.558 ditë, pra rreth ditës së 26-të.
ii) Shpejtësia e ndryshimit të numrit të parazitëve në këtë çast.
Duke përdorur derivatin $P'(t) = \frac{k}{t}$ dhe vlerën $t \approx 25.558$:
$$P'(25.558) = \frac{-150}{\ln(7) \cdot 25.558}$$$$P'(25.558) \approx \frac{-150}{1.9459 \cdot 25.558}$$$$P'(25.558) \approx \frac{-150}{49.721}$$$$P'(25.558) \approx -3.016$$Shpejtësia e ndryshimit të numrit të parazitëve në momentin kur ata bëhen më pak se 1 është rreth $-3.016$ parazitë/ditë.