Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 7

Zgjidhja e ushtrimit 7 të mësimit 4.5B në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

Një djalë po mbledh figura ngjitëse për një album. Në qarkullim ka 200 figura të tilla dhe djali e fillon me 10.

Çdo javë ai blen një pako me figura dhe figurat e përsëritura i hedh. Numri i figurave, NN, në fund të javës tt, modelohet nga funksioni N=20019e−0,7t+1N = \frac{200}{19e^{-0,7t}+1}.

  1. Gjeni dNdt\frac{dN}{dt}.
  2. Shprehni 19ee-0.7t^t në varësi të NN.
  3. Tregoni që dNdt\frac{dN}{dt} = 72000\frac{7}{2000}NN(200 - NN).

Dëshiron të blesh libra manga?

Kliko këtu për të parë ofertat e Kleptobuk

Zgjidhja

Për të zgjidhur problemin, do të ndjekim hapat e kërkuar:

  1. Gjeni $\frac{dN}{dt}$:

    Funksioni i dhënë është $N = \frac{200}{19e^{-0.7t}+1}$.

    Për lehtësi, mund të shkruajmë $N = 200(19e^{-0.7t}+1)^{-1}$.

    Zbatojmë rregullin e zinxhirit për derivim:

    $$ \frac{dN}{dt} = 200 \cdot (-1)(19e^{-0.7t}+1)^{-2} \cdot \frac{d}{dt}(19e^{-0.7t}+1) $$ $$ \frac{dN}{dt} = -200(19e^{-0.7t}+1)^{-2} \cdot (19 \cdot (-0.7)e^{-0.7t}) $$ $$ \frac{dN}{dt} = -200(19e^{-0.7t}+1)^{-2} \cdot (-13.3e^{-0.7t}) $$ $$ \frac{dN}{dt} = \frac{200 \cdot 13.3e^{-0.7t}}{(19e^{-0.7t}+1)^2} $$ $$ \frac{dN}{dt} = \frac{2660e^{-0.7t}}{(19e^{-0.7t}+1)^2} $$

  2. Shprehni $19e^{-0.7t}$ në varësi të $N$:

    Nga funksioni $N = \frac{200}{19e^{-0.7t}+1}$:

    $$ N(19e^{-0.7t}+1) = 200 $$ $$ 19N e^{-0.7t} + N = 200 $$ $$ 19N e^{-0.7t} = 200 - N $$ $$ 19e^{-0.7t} = \frac{200 - N}{N} $$

  3. Tregoni që $\frac{dN}{dt} = \frac{7}{2000}N(200 - N)$:

    Nga hapi 1, kemi $\frac{dN}{dt} = \frac{2660e^{-0.7t}}{(19e^{-0.7t}+1)^2}$.

    Nga hapi 2, kemi $19e^{-0.7t} = \frac{200 - N}{N}$. Prej kësaj, $e^{-0.7t} = \frac{200 - N}{19N}$.

    Gjithashtu, nga funksioni origjinal, $19e^{-0.7t}+1 = \frac{200}{N}$.

    Zëvendësojmë këto në shprehjen për $\frac{dN}{dt}$:

    $$ \frac{dN}{dt} = \frac{2660 \left(\frac{200 - N}{19N}\right)}{\left(\frac{200}{N}\right)^2} $$ $$ \frac{dN}{dt} = \frac{\frac{2660(200 - N)}{19N}}{\frac{40000}{N^2}} $$ $$ \frac{dN}{dt} = \frac{2660(200 - N)}{19N} \cdot \frac{N^2}{40000} $$ $$ \frac{dN}{dt} = \frac{2660(200 - N)N}{19 \cdot 40000} $$ $$ \frac{dN}{dt} = \frac{2660N(200 - N)}{760000} $$

    Thjeshtojmë fraksionin:

    $$ \frac{2660}{760000} = \frac{266}{76000} = \frac{133}{38000} $$

    Pjesëtojmë $133$ me $19$: $133 \div 19 = 7$.

    Pjesëtojmë $38000$ me $19$: $38000 \div 19 = 2000$.

    Pra, $\frac{133}{38000} = \frac{7}{2000}$.

    Kështu,

    $$ \frac{dN}{dt} = \frac{7}{2000}N(200 - N) $$