Zgjidhja e ushtrimit 4

Për të llogaritur integralin $ \int a^x dx $, ndjekim hapat e dhënë:

1. Përdorim barazimin $ a = e^{\ln a} $ dhe rregullin $ \ln a^b = b \cdot \ln a $. $$ a^x = (e^{\ln a})^x = e^{x \ln a} $$ Kështu, integrali bëhet: $$ \int e^{x \ln a} dx $$
2. Përdorim zëvendësimin $ u = x \ln a $. Gjejmë diferencialin $ du $: $$ du = (\ln a) dx $$ Prej këtu, $ dx = \frac{1}{\ln a} du $. Integrali transformohet në: $$ \int e^u \left( \frac{1}{\ln a} \right) du $$
3. Integroni dhe më pas ktheni bazën përsëri në $ a $. $$ \frac{1}{\ln a} \int e^u du = \frac{1}{\ln a} e^u + C $$ Zëvendësojmë $ u $ me $ x \ln a $: $$ \frac{1}{\ln a} e^{x \ln a} + C $$ Duke qenë se $ e^{x \ln a} = e^{\ln (a^x)} = a^x $, rezultati përfundimtar është: $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $$

Duke përdorur këtë teknikë, njehsojmë integralet e dhëna:

1. Për $ \int 4^x dx $: Këtu, $ a = 4 $. $$ \int 4^x dx = \frac{4^x}{\ln 4} + C $$
2. Për $ \int 5^{2x} dx $: Rishkruajmë funksionin si $ 5^{2x} = (5^2)^x = 25^x $. Këtu, $ a = 25 $. $$ \int 5^{2x} dx = \int 25^x dx = \frac{25^x}{\ln 25} + C $$ Ose duke përdorur zëvendësimin: Le të jetë $ u = 2x $. Atëherë $ du = 2 dx $, ose $ dx = \frac{1}{2} du $. $$ \int 5^{2x} dx = \int 5^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int 5^u du = \frac{1}{2} \frac{5^u}{\ln 5} + C = \frac{5^{2x}}{2 \ln 5} + C $$
3. Për $ \int 3^{x+1} dx $: Rishkruajmë funksionin si $ 3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x $. $$ \int 3^{x+1} dx = \int 3 \cdot 3^x dx = 3 \int 3^x dx $$ Këtu, $ a = 3 $. $$ 3 \cdot \frac{3^x}{\ln 3} + C = \frac{3 \cdot 3^x}{\ln 3} + C = \frac{3^{x+1}}{\ln 3} + C $$