Zgjidhja e ushtrimit 5

Për të kontrolluar nëse grafiku e pret boshtin e abshisave, vendosim $y=0$ dhe zgjidhim për $x$:

$$x \sin x = 0$$

Kjo barazim është i vërtetë nëse $x=0$ ose $\sin x = 0$.

• Nëse $x=0$, atëherë grafiku pret boshtin e abshisave në $x=0$.
• Nëse $\sin x = 0$, zgjidhjet për $0 \le x \le 2\pi$ janë $x = 0, \pi, 2\pi$.

Pra, grafiku e pret boshtin e abshisave në $0, \pi,$ dhe $2\pi$. Kjo është në përputhje me figurën.

Për të llogaritur syprinat e zonave $A$ dhe $B$, përdorim integralin e caktuar.

• Zona $A$ ndodhet mbi boshtin e abshisave ($y \ge 0$) në intervalin $[0, \pi]$. Prandaj, syprina e $A$ jepet nga integrali:

  $$S_A = \int_0^\pi x \sin x \, dx$$

  Përdorim integrimin me pjesë: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

  Le të jetë $u = x$ dhe $dv = \sin x \, dx$.

  Atëherë $du = dx$ dhe $v = -\cos x$.

  $$S_A = [-x \cos x]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos x) \, dx$$

  $$S_A = [-x \cos x]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x \, dx$$

  $$S_A = [-\pi \cos \pi - (-0 \cos 0)] + [\sin x]_0^\pi$$

  $$S_A = [-\pi (-1) - 0] + [\sin \pi - \sin 0]$$

  $$S_A = [\pi] + [0 - 0]$$

  $$S_A = \pi$$

• Zona $B$ ndodhet nën boshtin e abshisave ($y \le 0$) në intervalin $[\pi, 2\pi]$. Prandaj, syprina e $B$ jepet nga vlera absolute e integralit, ose duke integruar funksionin $-y$:

  $$S_B = \left| \int_\pi^{2\pi} x \sin x \, dx \right| = \int_\pi^{2\pi} (-x \sin x) \, dx$$

  Përdorim përsëri integrimin me pjesë (rezultati i integralit është i njëjtë, thjesht ndryshojnë kufijtë):

  $$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$$

  $$S_B = \left| [-x \cos x + \sin x]_\pi^{2\pi} \right|$$

  $$S_B = \left| [-(2\pi) \cos(2\pi) + \sin(2\pi)] - [-\pi \cos \pi + \sin \pi] \right|$$

  $$S_B = \left| [-2\pi(1) + 0] - [-\pi(-1) + 0] \right|$$

  $$S_B = \left| [-2\pi] - [\pi] \right|$$

  $$S_B = \left| -3\pi \right|$$

  $$S_B = 3\pi$$

Syprina totale e zonës ndërmjet grafikut dhe boshtit të abshisave është shuma e syprinave $S_A$ dhe $S_B$.

$$S_{total} = S_A + S_B$$

$$S_{total} = \pi + 3\pi$$

$$S_{total} = 4\pi$$