Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 6

Zgjidhja e ushtrimit 6 të mësimit 5.3B në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

Vija yy = (π\pi - xx)2sinxx, për 0 ≤x≤\le x \le 2π\pi, është simetrike në lidhje me pikën (π\pi, 0).

  1. Kontrolloni nëse vija e pret boshtin e abshisave në xx = 0, π\pi dhe 2π\pi.
  2. Gjeni syprinën e zonës ndërmjet vijës dhe boshtit të abshisave, për 0 ≤x≤\le x \le 2π\pi. Argumentoni përgjigjen.

Dëshiron të na kontaktosh?

Kliko këtu për të na shkruar në WhatsApp!

Zgjidhja

  1. Për të kontrolluar nëse vija pret boshtin e abshisave, duhet të gjejmë vlerën e $y$ për $x = 0$, $x = \pi$ dhe $x = 2\pi$. Kur vija pret boshtin e abshisave, $y = 0$.

    Funksioni është $y = (\pi - x)^2 \sin x$.

    • Për $x = 0$: $$y = (\pi - 0)^2 \sin(0) = \pi^2 \cdot 0 = 0$$ Po, vija e pret boshtin e abshisave në $x = 0$.
    • Për $x = \pi$: $$y = (\pi - \pi)^2 \sin(\pi) = 0^2 \cdot 0 = 0$$ Po, vija e pret boshtin e abshisave në $x = \pi$.
    • Për $x = 2\pi$: $$y = (\pi - 2\pi)^2 \sin(2\pi) = (-\pi)^2 \cdot 0 = \pi^2 \cdot 0 = 0$$ Po, vija e pret boshtin e abshisave në $x = 2\pi$.
  2. Për të gjetur syprinën e zonës ndërmjet vijës dhe boshtit të abshisave, për $0 \le x \le 2\pi$, duhet të integrojmë funksionin. Syprina jepet nga integralit i vlerës absolute të funksionit:

    Nga grafiku, shohim se $y \ge 0$ për $0 \le x \le \pi$ dhe $y \le 0$ për $\pi \le x \le 2\pi$.

    Syprina totale $A$ është shuma e syprinave të dy zonave:$$A = \int_0^{\pi} (\pi - x)^2 \sin x \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} -(\pi - x)^2 \sin x \, dx$$

    Për shkak të simetrisë së vijës në lidhje me pikën $(\pi, 0)$, syprina e zonës ndërmjet vijës dhe boshtit të abshisave nga $0$ në $\pi$ është e barabartë me syprinën e zonës nga $\pi$ në $2\pi$. Kjo do të thotë se $f(x) = -f(2\pi - x)$.

    Prandaj, $A = 2 \int_0^{\pi} (\pi - x)^2 \sin x \, dx$.

    Për të zgjidhur integralin, përdorim integrimin me pjesë dy herë:

    Integrali i parë: $\int (\pi - x)^2 \sin x \, dx$

    Le të jetë $u = (\pi - x)^2$ dhe $dv = \sin x \, dx$.Atëherë $du = -2(\pi - x) \, dx$ dhe $v = -\cos x$.$$\int (\pi - x)^2 \sin x \, dx = -(\pi - x)^2 \cos x - \int (-\cos x) (-2(\pi - x)) \, dx$$$$= -(\pi - x)^2 \cos x - 2 \int (\pi - x) \cos x \, dx$$

    Integrali i dytë (përsëri me pjesë): $\int (\pi - x) \cos x \, dx$

    Le të jetë $u = (\pi - x)$ dhe $dv = \cos x \, dx$.Atëherë $du = -1 \, dx$ dhe $v = \sin x$.$$\int (\pi - x) \cos x \, dx = (\pi - x) \sin x - \int \sin x (-1) \, dx$$$$= (\pi - x) \sin x + \int \sin x \, dx$$$$= (\pi - x) \sin x - \cos x$$

    Duke zëvendësuar këtë rezultat në integralin e parë:

    $$\int (\pi - x)^2 \sin x \, dx = -(\pi - x)^2 \cos x - 2 [(\pi - x) \sin x - \cos x]$$$$= -(\pi - x)^2 \cos x - 2(\pi - x) \sin x + 2 \cos x$$

    Tani llogarisim integralin e caktuar nga $0$ në $\pi$:

    $$\int_0^{\pi} (\pi - x)^2 \sin x \, dx = \left[ -(\pi - x)^2 \cos x - 2(\pi - x) \sin x + 2 \cos x \right]_0^{\pi}$$

    Në $x = \pi$:$$ -(\pi - \pi)^2 \cos(\pi) - 2(\pi - \pi) \sin(\pi) + 2 \cos(\pi)$$$$= -(0)^2 (-1) - 2(0)(0) + 2(-1) = 0 - 0 - 2 = -2$$

    Në $x = 0$:$$ -(\pi - 0)^2 \cos(0) - 2(\pi - 0) \sin(0) + 2 \cos(0)$$$$= -\pi^2 (1) - 2\pi (0) + 2 (1) = -\pi^2 + 2$$

    Syprina e zonës së parë:$$A_1 = (-2) - (-\pi^2 + 2) = -2 + \pi^2 - 2 = \pi^2 - 4$$

    Syprina totale është dyfishi i kësaj vlere, për shkak të simetrisë:

    $$A = 2 \cdot A_1 = 2(\pi^2 - 4)$$