Zgjidhja e ushtrimit 4

Për të integruar funksionin $\int \frac{1}{x(x-1)(x+1)} dx$, së pari shpërbëjmë thyesën racionale në thyesa parciale:

$$ \frac{1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1} $$

Shumëzojmë me $x(x-1)(x+1)$:

$$ 1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1) $$

Përcaktojmë koeficientët $A, B, C$ duke zëvendësuar vlerat e $x$ që anulojnë faktorët e emëruesit:

• Për $x=0$: $1 = A(-1)(1) \implies A = -1$
• Për $x=1$: $1 = B(1)(2) \implies B = \frac{1}{2}$
• Për $x=-1$: $1 = C(-1)(-2) \implies C = \frac{1}{2}$

Pra, funksioni bëhet:

$$ \frac{1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{-1}{x} + \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)} $$

Tani integrojmë:

$$ \int \left( \frac{-1}{x} + \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)} \right) dx $$

$$ = -\ln|x| + \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| + C $$

Për të integruar funksionin $\int \frac{10}{x(3x+2)(x-1)} dx$, së pari shpërbëjmë thyesën racionale në thyesa parciale:

$$ \frac{10}{x(3x+2)(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{3x+2} + \frac{C}{x-1} $$

Shumëzojmë me $x(3x+2)(x-1)$:

$$ 10 = A(3x+2)(x-1) + Bx(x-1) + Cx(3x+2) $$

Përcaktojmë koeficientët $A, B, C$:

• Për $x=0$: $10 = A(2)(-1) \implies 10 = -2A \implies A = -5$
• Për $x=1$: $10 = C(1)(3(1)+2) \implies 10 = C(5) \implies C = 2$
• Për $x=-\frac{2}{3}$: $10 = B\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{2}{3}-1\right) \implies 10 = B\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{5}{3}\right) \implies 10 = B\left(\frac{10}{9}\right) \implies B = 9$

Pra, funksioni bëhet:

$$ \frac{10}{x(3x+2)(x-1)} = \frac{-5}{x} + \frac{9}{3x+2} + \frac{2}{x-1} $$

Tani integrojmë:

$$ \int \left( \frac{-5}{x} + \frac{9}{3x+2} + \frac{2}{x-1} \right) dx $$

$$ = -5\ln|x| + 9 \cdot \frac{1}{3}\ln|3x+2| + 2\ln|x-1| + C $$

$$ = -5\ln|x| + 3\ln|3x+2| + 2\ln|x-1| + C $$

Për të integruar funksionin $\int \frac{x+3}{x(x-1)(4x-3)} dx$, së pari shpërbëjmë thyesën racionale në thyesa parciale:

$$ \frac{x+3}{x(x-1)(4x-3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{4x-3} $$

Shumëzojmë me $x(x-1)(4x-3)$:

$$ x+3 = A(x-1)(4x-3) + Bx(4x-3) + Cx(x-1) $$

Përcaktojmë koeficientët $A, B, C$:

• Për $x=0$: $0+3 = A(-1)(-3) \implies 3 = 3A \implies A = 1$
• Për $x=1$: $1+3 = B(1)(4(1)-3) \implies 4 = B(1)(1) \implies B = 4$
• Për $x=\frac{3}{4}$: $\frac{3}{4}+3 = C\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{3}{4}-1\right) \implies \frac{15}{4} = C\left(\frac{3}{4}\right)\left(-\frac{1}{4}\right) \implies \frac{15}{4} = C\left(-\frac{3}{16}\right) \implies C = -20$

Pra, funksioni bëhet:

$$ \frac{x+3}{x(x-1)(4x-3)} = \frac{1}{x} + \frac{4}{x-1} - \frac{20}{4x-3} $$

Tani integrojmë:

$$ \int \left( \frac{1}{x} + \frac{4}{x-1} - \frac{20}{4x-3} \right) dx $$

$$ = \ln|x| + 4\ln|x-1| - 20 \cdot \frac{1}{4}\ln|4x-3| + C $$

$$ = \ln|x| + 4\ln|x-1| - 5\ln|4x-3| + C $$

Për të integruar funksionin $\int \frac{6}{(x-1)(x-2)(x+1)} dx$, së pari shpërbëjmë thyesën racionale në thyesa parciale:

$$ \frac{6}{(x-1)(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+1} $$

Shumëzojmë me $(x-1)(x-2)(x+1)$:

$$ 6 = A(x-2)(x+1) + B(x-1)(x+1) + C(x-1)(x-2) $$

Përcaktojmë koeficientët $A, B, C$:

• Për $x=1$: $6 = A(1-2)(1+1) \implies 6 = A(-1)(2) \implies 6 = -2A \implies A = -3$
• Për $x=2$: $6 = B(2-1)(2+1) \implies 6 = B(1)(3) \implies 6 = 3B \implies B = 2$
• Për $x=-1$: $6 = C(-1-1)(-1-2) \implies 6 = C(-2)(-3) \implies 6 = 6C \implies C = 1$

Pra, funksioni bëhet:

$$ \frac{6}{(x-1)(x-2)(x+1)} = \frac{-3}{x-1} + \frac{2}{x-2} + \frac{1}{x+1} $$

Tani integrojmë:

$$ \int \left( \frac{-3}{x-1} + \frac{2}{x-2} + \frac{1}{x+1} \right) dx $$

$$ = -3\ln|x-1| + 2\ln|x-2| + \ln|x+1| + C $$

Për të integruar funksionin $\int \frac{3x}{(2x-1)(x-2)(x-1)} dx$, së pari shpërbëjmë thyesën racionale në thyesa parciale:

$$ \frac{3x}{(2x-1)(x-2)(x-1)} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-1} $$

Shumëzojmë me $(2x-1)(x-2)(x-1)$:

$$ 3x = A(x-2)(x-1) + B(2x-1)(x-1) + C(2x-1)(x-2) $$

Përcaktojmë koeficientët $A, B, C$:

• Për $x=\frac{1}{2}$: $3\left(\frac{1}{2}\right) = A\left(\frac{1}{2}-2\right)\left(\frac{1}{2}-1\right) \implies \frac{3}{2} = A\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) \implies \frac{3}{2} = A\left(\frac{3}{4}\right) \implies A = 2$
• Për $x=2$: $3(2) = B(2(2)-1)(2-1) \implies 6 = B(3)(1) \implies 6 = 3B \implies B = 2$
• Për $x=1$: $3(1) = C(2(1)-1)(1-2) \implies 3 = C(1)(-1) \implies 3 = -C \implies C = -3$

Pra, funksioni bëhet:

$$ \frac{3x}{(2x-1)(x-2)(x-1)} = \frac{2}{2x-1} + \frac{2}{x-2} - \frac{3}{x-1} $$

Tani integrojmë:

$$ \int \left( \frac{2}{2x-1} + \frac{2}{x-2} - \frac{3}{x-1} \right) dx $$

$$ = 2 \cdot \frac{1}{2}\ln|2x-1| + 2\ln|x-2| - 3\ln|x-1| + C $$

$$ = \ln|2x-1| + 2\ln|x-2| - 3\ln|x-1| + C $$

Për të integruar funksionin $\int \frac{x^2+2}{x(x-1)(x-2)} dx$, së pari shpërbëjmë thyesën racionale në thyesa parciale:

$$ \frac{x^2+2}{x(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2} $$

Shumëzojmë me $x(x-1)(x-2)$:

$$ x^2+2 = A(x-1)(x-2) + Bx(x-2) + Cx(x-1) $$

Përcaktojmë koeficientët $A, B, C$:

• Për $x=0$: $0^2+2 = A(-1)(-2) \implies 2 = 2A \implies A = 1$
• Për $x=1$: $1^2+2 = B(1)(1-2) \implies 3 = B(1)(-1) \implies 3 = -B \implies B = -3$
• Për $x=2$: $2^2+2 = C(2)(2-1) \implies 6 = C(2)(1) \implies 6 = 2C \implies C = 3$

Pra, funksioni bëhet:

$$ \frac{x^2+2}{x(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x} - \frac{3}{x-1} + \frac{3}{x-2} $$

Tani integrojmë:

$$ \int \left( \frac{1}{x} - \frac{3}{x-1} + \frac{3}{x-2} \right) dx $$

$$ = \ln|x| - 3\ln|x-1| + 3\ln|x-2| + C $$