Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 5

Zgjidhja e ushtrimit 5 të mësimit 5.4B në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

Në figurë jepet grafiku i funksionit y=2x−4(x−1)(x−3)y = \frac{2x-4}{(x-1)(x-3)}.

  1. Llogaritni syprinën e zonës së kufizuar nga vija, boshti i abshisave dhe drejtëzat xx = -1 dhe xx = 0. Argumentoni veprimet.
  2. Llogaritni syprinën e zonës së kufizuar nga vija, boshti i abshisave dhe drejtëzat xx = 4 dhe xx = 5. Argumentoni veprimet.
  3. Tregoni pse nuk është e përshtatshme të kërkojmë të gjejmë syprinën e zonës së kufizuar nga vija, boshti i abshisave dhe drejtëzat xx = 0 dhe xx = 2.

Nuk e gjen ushtrimin që do?

Dërgo DM në Instagram duke klikuar këtu!

Zgjidhja

  1. Për të llogaritur syprinën e zonës së kufizuar nga vija, boshti i abshisave dhe drejtëzat $x = -1$ dhe $x = 0$, duhet të integrojmë funksionin $y = \frac{2x-4}{(x-1)(x-3)}$ nga $-1$ në $0$. Syprina jepet nga integral absolut, pasi funksioni është nën boshtin e abshisave në këtë interval.

    Fillimisht, zbërthejmë funksionin në thyesa parciale:

    $$ \frac{2x-4}{(x-1)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3} $$ $$ 2x-4 = A(x-3) + B(x-1) $$

    Për $x=1$:

    $$ 2(1)-4 = A(1-3) + B(1-1) \implies -2 = -2A \implies A = 1 $$

    Për $x=3$:

    $$ 2(3)-4 = A(3-3) + B(3-1) \implies 2 = 2B \implies B = 1 $$

    Pra, funksioni shkruhet si:

    $$ y = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3} $$

    Llogarisim integralin:

    $$ \int \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3} \right) dx = \ln|x-1| + \ln|x-3| + C = \ln|(x-1)(x-3)| + C $$

    Tani llogarisim syprinën (integral absolut):

    $$ S_1 = \left| \int_{-1}^{0} \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3} \right) dx \right| $$ $$ = \left| \left[ \ln|(x-1)(x-3)| \right]_{-1}^{0} \right| $$ $$ = \left| \ln|(0-1)(0-3)| - \ln|(-1-1)(-1-3)| \right| $$ $$ = \left| \ln|(-1)(-3)| - \ln|(-2)(-4)| \right| $$ $$ = \left| \ln(3) - \ln(8) \right| $$ $$ = \left| \ln\left(\frac{3}{8}\right) \right| $$

    Meqenëse $\frac{3}{8} < 1$, $\ln\left(\frac{3}{8}\right)$ është një numër negativ. Syprina duhet të jetë pozitive, prandaj:

    $$ S_1 = -\ln\left(\frac{3}{8}\right) = \ln\left(\frac{8}{3}\right) $$

    Syprina e zonës së kufizuar është $\ln\left(\frac{8}{3}\right)$ njësi katrore.

  2. Për të llogaritur syprinën e zonës së kufizuar nga vija, boshti i abshisave dhe drejtëzat $x = 4$ dhe $x = 5$, duhet të integrojmë funksionin $y = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3}$ nga $4$ në $5$.

    Në intervalin $[4, 5]$, funksioni është mbi boshtin e abshisave, pra vlera e integralit do të jetë pozitive.

    $$ S_2 = \int_{4}^{5} \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3} \right) dx $$ $$ = \left[ \ln|(x-1)(x-3)| \right]_{4}^{5} $$ $$ = \ln|(5-1)(5-3)| - \ln|(4-1)(4-3)| $$ $$ = \ln|(4)(2)| - \ln|(3)(1)| $$ $$ = \ln(8) - \ln(3) $$ $$ = \ln\left(\frac{8}{3}\right) $$

    Syprina e zonës së kufizuar është $\ln\left(\frac{8}{3}\right)$ njësi katrore.

  3. Nuk është e përshtatshme të kërkojmë të gjejmë syprinën e zonës së kufizuar nga vija, boshti i abshisave dhe drejtëzat $x = 0$ dhe $x = 2$ sepse funksioni $y = \frac{2x-4}{(x-1)(x-3)}$ ka asimptota vertikale në $x=1$ dhe $x=3$.

    Intervali i integrimit $[0, 2]$ përfshin pikën $x=1$, ku funksioni nuk është i përcaktuar dhe shkon në $\pm \infty$. Kjo do të thotë se integrali i pacaktuar $\int_{0}^{2} y \,dx$ është një integral i papërshtatshëm (improper integral) dhe vlerat e tij mund të divergjojnë. Syprina e zonës së kufizuar nga vija në këtë interval do të ishte e pafundme, ose integrali nuk mund të llogaritet në mënyrë konvencionale si një sipërfaqe e fundme.