Kopertina e librit Matematika 12 (me zgjedhje)

Zgjidhja e ushtrimit 4

Zgjidhja e ushtrimit 4 të mësimit 6.1A në librin Matematika 12 (me zgjedhje) nga shtëpia botuese Botime Pegi me autorë Brian Jefferson, David Bowles dhe Eddie Mullan.

Pyetja

Pikat AA, BB dhe CC kanë përkatësisht rrezevektorë:

a⃗=(211)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix}, b⃗=(325)\vec{b} = \begin{pmatrix} 3\\2\\5 \end{pmatrix} dhe c⃗=(6−15)\vec{c} = \begin{pmatrix} 6\\-1\\5 \end{pmatrix}.

  1. Gjeni gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit ABCABC.
  2. Tregoni që trekëndëshi është kënddrejtë.
  3. Tregoni një veti tjetër të këtij trekëndëshi.

Dëshiron të blesh libra manga?

Kliko këtu për të parë ofertat e Kleptobuk

Zgjidhja

1. Gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit ABC:

  • Gjatësia e brinjës AB: $$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$ $$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

  • Gjatësia e brinjës BC: $$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$|\vec{BC}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

  • Gjatësia e brinjës AC: $$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$$ $$|\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$$

2. Të tregojmë që trekëndëshi është kënddrejtë:

Shikojmë nëse vlen Teorema e Pitagorës: $AB^2 + BC^2 = AC^2$

$(3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 6^2$

$18 + 18 = 36$

$36 = 36$

Pra, trekëndëshi është kënddrejtë.

3. Një veti tjetër e këtij trekëndëshi:

Duke qenë se $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = 3\sqrt{2}$, trekëndëshi ABC është gjithashtu dybrinjënjëshëm.