Zgjidhja e ushtrimit 7

1. \( \vec{p} + \vec{q} - 2\vec{r} \):

$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+1+4 \\ 3+1-4 \\ -4-2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} $$

2. \( |\vec{p} - \vec{q}| \):

$$ \vec{p} - \vec{q} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} $$

$$ |\vec{p} - \vec{q}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 $$

3. Vektor me gjatësi 15 dhe drejtim të njëjtë me \( \vec{r} \):

$$ |\vec{r}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 $$

Vektori njësi: \( \hat{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/3 \\ 2/3 \\ 1/3 \end{pmatrix} \)

Vektori i kërkuar: \( 15 \hat{r} = 15 \begin{pmatrix} -2/3 \\ 2/3 \\ 1/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix} \)

4. Gjeni \( \lambda \) dhe \( \mu \):

$$ \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} $$

Sistemi i ekuacioneve:

$$ \begin{cases} 2\lambda + \mu = 1 \\ 3\lambda + \mu = 3 \\ -4\lambda - 2\mu = -2 \end{cases} $$

Nga ekuacioni i parë dhe i dytë:

$$ (3\lambda + \mu) - (2\lambda + \mu) = 3 - 1 \Rightarrow \lambda = 2 $$

Duke zëvendësuar \( \lambda \) në ekuacionin e parë: \( 2(2) + \mu = 1 \Rightarrow 4 + \mu = 1 \Rightarrow \mu = -3 \)

Kontrollojmë me ekuacionin e tretë: \( -4(2) - 2(-3) = -8 + 6 = -2 \), që është në rregull.

Pra, \( \lambda = 2 \) dhe \( \mu = -3 \).